La Great Clock de la tour Elizabeth fonctionne depuis 1859, et son réglage se fait d'une façon qui semble une plaisanterie : en posant de vieux pennies sur le pendule. Ce n'est pas une plaisanterie. Cet article calcule la longueur que doit avoir le pendule, puis pourquoi une pièce peut modifier l'heure d'une quantité mesurable.
Le pendule et son battement
Le pendule mesure environ 3.9 à 4 m de long et bat toutes les 2 secondes. Un « battement » est une oscillation, d'un côté à l'autre. Le pendule a besoin de deux oscillations pour revenir à son point de départ ; une période complète, c'est donc le temps d'un cycle complet d'aller et retour, soit 4 secondes.
Cela donne un décompte rapide du travail que fait l'horloge en une journée. Une journée compte 24 × 60 × 60 = 86,400 secondes, donc le pendule effectue 86,400 ÷ 2 = 43,200 battements chaque jour, soit 21,600 périodes complètes.
Calcul de la longueur
Pour un pendule qui oscille à petits angles, la période ne dépend que de deux choses : sa longueur L et l'intensité de la pesanteur g.
T = 2π√(L/g)
La masse et l'amplitude de l'oscillation n'apparaissent pas (l'amplitude compte un peu aux grands angles, c'est pourquoi les pendules d'horloge n'oscillent que de quelques degrés). Pour trouver L à partir d'une période connue, élevez les deux côtés au carré et réarrangez :
L = g T² ÷ (4π²)
Insérons maintenant les valeurs, avec la pesanteur normale g = 9.80665 m/s² et T = 4 s :
- T² = 4 × 4 = 16 s²
- g × T² = 9.80665 × 16 = 156.906
- 4π² = 4 × 9.8696 = 39.478
- L = 156.906 ÷ 39.478 = 3.97 m (3.9745 à quatre chiffres significatifs)
Le résultat se situe dans la fourchette annoncée de 3.9 à 4 m. En prenant g = 9.81 m/s², on obtient 3.976 m, donc la réponse est de 3.97 à 3.98 m selon la valeur de g. Un vrai pendule est une tige avec une lourde masse, et non un point au bout d'un fil, donc L est la longueur effective jusqu'à son centre d'oscillation. Les 3.97 m servent à vérifier la conception, et non à mesurer à la règle.
Pourquoi un penny change l'heure
La même formule explique les pièces. Un petit plateau fixé au pendule porte les pennies, et chacun soulève légèrement le centre de masse du pendule. La longueur effective devient un peu plus courte, la période un peu plus brève, et l'horloge avance. Si l'on retire des pennies, elle retarde.
Le chiffre publié est qu'ajouter un vieux penny sur le plateau fait avancer l'horloge d'environ 0.4 seconde par jour, soit deux cinquièmes de seconde. Convertissons cela en variation de longueur :
- Fraction de journée gagnée : 0.4 ÷ 86,400 = 0.00000463, soit environ 0.0005%.
- C'est aussi le raccourcissement fractionnaire de chaque période : chaque période de 4 s est donc plus courte d'environ 0.000019 s, et chaque battement d'environ 9.3 microsecondes (0.4 ÷ 43,200 = 0.0000093 s).
- Comme T dépend de la racine carrée de L, une variation de L est deux fois plus grande qu'une variation de T : ΔL ÷ L = 2 × 0.00000463 = 0.0000093.
- Sur une longueur de 3.97 m, cela fait 0.0000093 × 3.97 = 0.000037 m, soit environ 0.04 mm.
Ainsi, une pièce modifie la longueur effective d'un pendule de 4 mètres d'environ quatre centièmes de millimètre. C'est un calcul idéalisé, car l'effet réel dépend de la position du plateau, mais il montre l'ordre de grandeur. Laissé à lui-même, 0.4 seconde par jour atteint 12 secondes en 30 jours et environ 146 secondes en un an (0.4 × 365 = 146).
Pourquoi l'échappement compte aussi
Un pendule perd de l'énergie par frottement et par l'air, il faut donc le relancer à chaque oscillation, et c'est là que se glissent les erreurs : si la poussée varie, l'oscillation varie.
La Great Clock utilise l'échappement à gravité double à trois jambes conçu par Edmund Beckett Denison. Les poids entraînent les roues de l'horloge, mais l'échappement ne transmet pas cette force directement au pendule. La roue libère de petits bras qui sont soulevés puis retombent sous l'effet de la gravité, et c'est le bras qui retombe qui donne au pendule son impulsion. La poussée est donc à peu près la même à chaque fois, quel que soit l'état du train d'entraînement ou la pression du vent sur les grandes aiguilles à l'extérieur. Cette régularité explique pourquoi un réglage de la taille d'une pièce en vaut la peine.
Un mécanisme, quatre cadrans
Ce seul mécanisme entraîne les quatre cadrans, chacun d'environ 7 m de diamètre (l'article sur Big Ben est une cloche traite des autres chiffres de la tour). Pour le rapport entre les horloges britanniques et le reste du monde, voir l'article sur GMT, BST et le changement d'heure.
Ce qu'il faut retenir des chiffres
- Un battement de 2 secondes correspond à une période de 4 secondes, et 86,400 ÷ 2 = 43,200 battements par jour.
- L = gT² ÷ 4π² = 3.97 m pour T = 4 s, et doubler la période quadruple la longueur.
- Un vieux penny fait avancer d'environ 0.4 s par jour, soit environ 0.04 mm de longueur effective.
La méthode fonctionne pour tout pendule que vous pouvez chronométrer. Comptez les oscillations en une minute, convertissez en période, et la formule vous donne la longueur attendue.
Big Ben Blocks: Block Puzzle propose un mode Classic sans chronomètre ou un Time Attack de trois minutes, et le Défi quotidien change à minuit, heure du Royaume-Uni. Les dix niveaux Adventure vont de Westminster à Piccadilly, et le jeu se joue hors ligne, sans publicité ni achat intégré. Les pièces que vous gagnez n'ont aucune valeur monétaire.