O Great Clock da Elizabeth Tower funciona desde 1859, e sua precisão é ajustada de um jeito que parece piada: colocando moedas antigas de penny no pêndulo. Não é piada. Esta publicação calcula o tamanho que o pêndulo precisa ter, e depois por que uma moeda pode mudar o relógio em uma quantidade mensurável.
O pêndulo e sua batida
O pêndulo tem cerca de 3.9 a 4 m de comprimento e bate a cada 2 segundos. Uma "batida" é um balanço, de um lado ao outro. O pêndulo precisa de dois balanços para voltar ao ponto de partida, então um período completo, o tempo de um ciclo completo de ida e volta, é de 4 segundos.
Isso permite uma contagem rápida do trabalho que o relógio faz em um dia. Há 24 × 60 × 60 = 86,400 segundos em um dia, então o pêndulo faz 86,400 ÷ 2 = 43,200 batidas por dia, ou 21,600 períodos completos.
Calculando o comprimento
Para um pêndulo que oscila em pequenos ângulos, o período depende de apenas duas coisas: seu comprimento L e a intensidade da gravidade g.
T = 2π√(L/g)
Massa e o tamanho do balanço não aparecem (o balanço importa um pouco em ângulos maiores, por isso pêndulos de relógio oscilam só poucos graus). Para encontrar L a partir de um período conhecido, eleve os dois lados ao quadrado e reorganize:
L = g T² ÷ (4π²)
Agora coloque os números, usando a gravidade padrão, g = 9.80665 m/s², e T = 4 s:
- T² = 4 × 4 = 16 s²
- g × T² = 9.80665 × 16 = 156.906
- 4π² = 4 × 9.8696 = 39.478
- L = 156.906 ÷ 39.478 = 3.97 m (3.9745 com quatro algarismos)
O resultado fica dentro da faixa citada de 3.9 a 4 m. Usando g = 9.81 m/s², o valor é 3.976 m, então a resposta é 3.97 a 3.98 m, dependendo do valor de g. Um pêndulo real é uma haste com um peso pesado na ponta, não um ponto em um fio, então L é o comprimento efetivo até o seu centro de oscilação. Os 3.97 m são uma verificação do projeto, não uma medida com régua.
Por que um penny muda a hora
A mesma fórmula explica as moedas. Uma pequena bandeja presa ao pêndulo segura os pennies, e cada um eleva o centro de massa do pêndulo um pouco. Isso torna o comprimento efetivo um pouco menor, o período um pouco menor, e o relógio adianta. Tirando pennies, ele atrasa.
O número publicado é que adicionar uma velha moeda de penny à bandeja faz o relógio adiantar cerca de 0.4 segundo por dia, dois quintos de segundo. Transformando isso em uma mudança de comprimento:
- Fração do dia ganha: 0.4 ÷ 86,400 = 0.00000463, ou cerca de 0.0005%.
- Essa também é a redução fracionária de cada período, então cada período de 4 s fica cerca de 0.000019 s mais curto, e cada batida cerca de 9.3 microssegundos mais curta (0.4 ÷ 43,200 = 0.0000093 s).
- Como T depende da raiz quadrada de L, uma mudança em L é duas vezes maior que a mudança em T: ΔL ÷ L = 2 × 0.00000463 = 0.0000093.
- Em um comprimento de 3.97 m, isso dá 0.0000093 × 3.97 = 0.000037 m, ou cerca de 0.04 mm.
Assim, uma moeda muda o comprimento efetivo de um pêndulo de 4 metros em cerca de quatro centésimos de milímetro. Este é um cálculo idealizado, já que o efeito real depende de onde a bandeja fica, mas mostra a ordem de grandeza. Deixado sozinho, 0.4 segundo por dia se acumula em 12 segundos em 30 dias e cerca de 146 segundos em um ano (0.4 × 365 = 146).
Por que o escape também importa
Um pêndulo perde energia para o atrito e o ar, então precisa de um impulso a cada balanço, e é no impulso que os erros se infiltram: se o empurrão varia, o balanço varia.
O Great Clock usa o escape de gravidade de três pernas duplo projetado por Edmund Beckett Denison. Os pesos movem as rodas do relógio, mas o escape não passa essa força diretamente ao pêndulo. A roda libera pequenos braços que são levantados e depois caem por gravidade, e é o braço que cai que dá o impulso ao pêndulo. O impulso é, portanto, praticamente o mesmo a cada vez, qualquer que seja o estado do trem de engrenagens ou a pressão do vento sobre os grandes ponteiros lá fora. Essa constância é o que torna valioso um ajuste do tamanho de uma moeda.
Um mecanismo, quatro mostradores
Esse mecanismo aciona os quatro mostradores, cada um com cerca de 7 m de diâmetro (a publicação sobre por que o Big Ben é um sino trata dos outros números da torre). Para ver como os relógios do Reino Unido se relacionam com o resto do mundo, veja a publicação sobre GMT, BST e quando os relógios mudam.
O que levar dos números
- Uma batida de 2 segundos é um período de 4 segundos, e 86,400 ÷ 2 = 43,200 batidas por dia.
- L = gT² ÷ 4π² = 3.97 m para T = 4 s, e dobrar o período quadruplica o comprimento.
- Uma velha moeda de penny adianta cerca de 0.4 s por dia, aproximadamente 0.04 mm de comprimento efetivo.
O método funciona para qualquer pêndulo que você consiga cronometrar. Conte as oscilações em um minuto, converta em período, e a fórmula dá o comprimento esperado.
Big Ben Blocks: Quebra-cabeça de Blocos oferece o modo Classic sem tempo ou o Time Attack de três minutos, e o Desafio Diário muda à meia-noite no horário do Reino Unido. Os dez níveis de Adventure vão de Westminster a Piccadilly, e o jogo funciona offline, sem anúncios nem compras no aplicativo. As moedas que você ganha não têm valor em dinheiro.