Внутри Великих часов: как пенни выверяют Биг-Бен

Большие часы в Башне Елизаветы идут с 1859 года, и их ход корректируют способом, который звучит как шутка: кладут старые пенни на маятник. Это не шутка. В этом посте сначала считается, какой длины должен быть маятник, а затем почему монета может сдвинуть часы на измеримую величину.

Маятник и его удар

Маятник примерно 3,9–4 м длиной и делает удар каждые 2 секунды. «Удар» — это одно качание, от одной стороны к другой. Маятнику нужно два качания, чтобы вернуться в исходную точку, поэтому один полный период, время полного цикла туда и обратно, — 4 секунды.

Это даёт быстрый подсчёт объёма работы часов за день. В сутках 24 × 60 × 60 = 86 400 секунд, поэтому маятник совершает 86 400 ÷ 2 = 43 200 ударов каждый день, или 21 600 полных периодов.

Расчёт длины

Для маятника, качающегося на малые углы, период зависит только от двух вещей: его длины L и силы тяжести g.

T = 2π√(L/g)

Масса и размах качания в формулу не входят (размах немного важен на больших углах, поэтому маятники часов качаются лишь на несколько градусов). Чтобы найти L по известному периоду, возведите обе части в квадрат и перегруппируйте:

L = g T² ÷ (4π²)

Теперь подставим числа, используя стандартное ускорение свободного падения g = 9,80665 м/с² и T = 4 с:

• T² = 4 × 4 = 16 с²
• g × T² = 9,80665 × 16 = 156,906
• 4π² = 4 × 9,8696 = 39,478
• L = 156,906 ÷ 39,478 = 3,97 м (3,9745 с точностью до четырёх значащих цифр)

Результат попадает в указанный диапазон 3,9–4 м. Если взять g = 9,81 м/с², получим 3,976 м, так что ответ — от 3,97 до 3,98 м в зависимости от значения g. Настоящий маятник — это стержень с тяжёлым грузом, а не точка на нити, поэтому L это эффективная длина до центра колебаний. Значение 3,97 м — проверка проекта, а не измерение рулеткой.

Почему пенни меняет время

Та же формула объясняет монеты. Маленькая платформа, прикреплённая к маятнику, держит пенни, и каждая из них поднимает центр масс маятника на крошечную величину. Это делает эффективную длину немного короче, период немного короче, и часы спешат. Снимите монеты — и они начнут отставать.

Опубликованная цифра: добавление одного старого пенни на платформу заставляет часы спешить примерно на 0,4 секунды в сутки, то есть на две пятых секунды. Переведём это в изменение длины:

• Доля суток, которую часы выигрывают: 0,4 ÷ 86 400 = 0,00000463, или примерно 0,0005%.
• Это также относительное укорочение каждого периода, поэтому каждый период 4 с короче примерно на 0,000019 с, а каждый удар — примерно на 9,3 микросекунды (0,4 ÷ 43 200 = 0,0000093 с).
• Поскольку T зависит от квадратного корня из L, относительное изменение L вдвое больше относительного изменения T: ΔL ÷ L = 2 × 0,00000463 = 0,0000093.
• При длине 3,97 м это 0,0000093 × 3,97 = 0,000037 м, или примерно 0,04 мм.

Итак, монета изменяет эффективную длину 4-метрового маятника примерно на четыре сотых миллиметра. Это идеализированный расчёт, поскольку реальный эффект зависит от того, где стоит платформа, но он показывает масштаб. Если ничего не делать, 0,4 секунды в сутки накапливаются до 12 секунд за 30 дней и около 146 секунд за год (0,4 × 365 = 146).

Важен и спуск

Маятник теряет энергию из-за трения и воздуха, поэтому его нужно подталкивать на каждом качании, и именно в толчке вкрадываются ошибки: если толчок меняется, меняется и качание.

Большие часы используют двойной трёхногий гравитационный спуск, спроектированный Эдмундом Бекеттом Денисоном. Гири приводят в движение колёса часов, но спуск не передаёт эту силу напрямую маятнику. Колесо освобождает небольшие рычаги, которые поднимаются и затем падают под действием силы тяжести, и именно падающий рычаг даёт маятнику толчок. Поэтому толчок почти одинаков каждый раз, каким бы ни было состояние приводного механизма или давление ветра на большие стрелки снаружи. Именно эта стабильность делает корректировку размером с монету полезной.

Один механизм, четыре циферблата

Этот один механизм приводит в движение все четыре циферблата, каждый диаметром около 7 м (пост о том, почему Биг-Бен — это колокол рассказывает о других числах башни). Как британские часы соотносятся с остальным миром, см. в посте о GMT, BST и о том, когда переводят часы.

Что вынести из цифр

• Удар каждые 2 секунды — это период 4 секунды, а 86 400 ÷ 2 = 43 200 ударов в сутки.
• L = gT² ÷ 4π² = 3,97 м при T = 4 с, и удвоение периода в четыре раза увеличивает длину.
• Один старый пенни добавляет примерно 0,4 с в сутки, примерно 0,04 мм эффективной длины.

Метод работает для любого маятника, который можно засечь по времени. Посчитайте качания за минуту, переведите в период, и формула даст ожидаемую длину.