Pourquoi chaque case d'une grille 9x9 est sur trois lignes

Un puzzle à blocs 9x9 qui efface lignes, colonnes et carrés 3x3 compte 27 groupes à compléter : neuf de chaque sorte. Chaque groupe comporte neuf cases ; les groupes totalisent donc 243 emplacements de cases, répartis sur un plateau de seulement 81 cases. Divisez l'un par l'autre et chaque case est comptée exactement trois fois. Pas en moyenne : chaque case, coin ou centre, se trouve dans une seule ligne, une seule colonne et un seul carré.

Un carré n'est pas strictement une ligne, mais il se comporte comme une ligne : remplissez ses neuf cases et il s'efface. Ce sont les mêmes 27 groupes qu'utilise une grille de Sudoku.

Comment les groupes se chevauchent

Deux quelconques des 27 groupes ne partagent aucune case ou en partagent un nombre fixe. Il y a 351 façons de choisir deux groupes, et seules 135 de ces paires se chevauchent :

Chaque ligne croise chaque colonne, en exactement une case. Chaque ligne traverse exactement trois carrés, en prenant trois cases dans chacun. Des groupes de même type ne se touchent jamais. Vue depuis une case, sa ligne, sa colonne et son carré contiennent 20 autres cases : huit dans la ligne, huit dans la colonne et les quatre de son carré qui ne sont ni sur la ligne ni sur la colonne. Ce sont ces 20 cases seules qui décident si ses groupes sont complétés.

Big Ben Blocks: Block Puzzle utilise exactement ce plateau : les pièces se posent sur une grille 9x9, et compléter une ligne, une colonne ou un carré 3x3 libère de la place.

Ce qu'une pièce peut effacer

Comme une case appartient à trois groupes, la dernière pièce posée dans une case peut en achever jusqu'à trois d'un coup. Si sa ligne, sa colonne et son carré ont chacun huit cases remplies et que celle-ci est la neuvième pour les trois, un seul placement complète trois groupes. L'espace libéré est la réunion des trois, et non leur somme, car ils se chevauchent :

1. Ligne, colonne et carré ensemble : 21 cases. 9 + 9 + 9, moins les cases communes : 1 entre ligne et colonne, 3 entre ligne et carré, 3 entre colonne et carré, plus la case commune aux trois, rajoutée. Cela représente un peu plus d'un quart du plateau.
2. Deux lignes ou deux colonnes : 18 cases. Des lignes parallèles ne se chevauchent jamais, donc rien n'est perdu.
3. Une ligne et une colonne : 17 cases. Elles se croisent en une case.
4. Une ligne et un carré qu'elle traverse : 15 cases. Elles en partagent trois.

Ainsi, lorsque deux coups complètent chacun deux groupes, une paire de lignes croisées libère plus de place qu'une ligne plus un carré, et deux lignes parallèles en libèrent le plus.

Compter ce que touche une pièce

Un placement ne peut compléter que les groupes dans lesquels il place au moins une pièce. Donc, pour n'importe quelle forme, comptez les lignes, colonnes et carrés distincts qu'elle occupe : ce total est le plafond de ce que le placement peut effacer. C'est un plafond, car toutes les autres cases de ces groupes doivent déjà être remplies.

Une même forme atteint un nombre différent de groupes selon sa position par rapport aux bords des carrés. Quelques exemples, quelles que soient les formes distribuées par un jeu :

• Deux cases côte à côte dans un même carré touchent 1 ligne, 2 colonnes et 1 carré : 4 groupes. Décalez-les pour qu'elles chevauchent une bordure de carré, et elles en touchent 5.
• Trois cases alignées dans un même carré touchent 5 groupes. Décalez-les d'une case pour qu'elles franchissent une bordure, et elles en touchent 6.
• Un motif 2x2 dans un même carré touche 5 groupes. Centré sur le coin où se rejoignent quatre carrés, il touche 2 lignes, 2 colonnes et 4 carrés : 8.
• Un motif 3x3 remplissant exactement un carré touche 7. Décalé d'une case dans chaque direction, il s'étend sur quatre carrés et touche 10.

Chevaucher une bordure n'est pas automatiquement meilleur. Cela relève le plafond, mais chaque carré touché et non achevé se retrouve avec davantage de travail inachevé.

Effacer une ligne et effacer un carré ne sont pas des événements de même ampleur

Tout effacement libère neuf cases, soit un neuvième du plateau. Ce qui diffère, c'est la portée de l'effet.

Les neuf cases d'une ligne se trouvent dans neuf colonnes différentes et trois carrés différents. L'effacer fait reculer douze autres groupes d'un coup : une case dans chaque colonne, trois cases dans chacun des trois carrés. Les neuf cases d'un carré se trouvent dans trois lignes et trois colonnes, donc effacer un carré ne fait reculer que six autres groupes, de trois cases chacun. Un effacement de ligne se répartit finement sur tout le plateau, et un effacement de carré crée un trou compact de 3x3.

Deux conséquences en découlent. Un effacement de carré laisse un trou dans lequel une pièce compacte peut tomber, tandis qu'une ligne effacée laisse une bande 1x9 que seules les formes plates peuvent remplir. Et effacer une ligne peut faire reculer une colonne qui n'était qu'à un élément près, en vidant sa case dans cette ligne ; il vaut donc la peine de vérifier les neuf colonnes qu'elle croise avant de prendre une ligne.

Essayez cette habitude dans le mode Classique sans chrono de Big Ben Blocks, où aucune horloge ne vous presse de vérifier.

Lire le plateau par trois

L'habitude que suggère la géométrie est simple : quand vous regardez une case vide, vérifiez ses trois groupes, et pas seulement la ligne que vous étiez en train de construire. Une case dont la ligne, la colonne et le carré sont presque pleins est la plus précieuse du plateau. Une case dont les trois groupes sont presque vides n'aide aucun d'eux à court terme, et la remplir consomme surtout de la place.

Le même décompte fonctionne à l'envers quand le plateau est encombré. Une pièce ne quitte le plateau que lorsque l'un de ses trois groupes s'efface ; une pièce dont la ligne, la colonne et le carré ont chacun un trou gênant ailleurs reste donc en place jusqu'à ce que l'un de ces trous soit comblé.