Por que cada célula de uma grade 9x9 de blocos pertence a três linhas

Um quebra-cabeça de blocos 9x9 que limpa fileiras, colunas e caixas 3x3 tem 27 grupos que você pode completar: nove de cada tipo. Cada grupo tem nove células, então os grupos somam 243 posições de célula, distribuídas em um tabuleiro de apenas 81 células. Divida um pelo outro e cada célula é contada exatamente três vezes. Não em média: cada célula, de canto ou central, está em exatamente uma fileira, uma coluna e uma caixa.

Uma caixa não é estritamente uma linha, mas se comporta como uma: preencha suas nove células e ela é limpa. Estes são os mesmos 27 grupos que uma grade de Sudoku usa.

Como os grupos se sobrepõem

Quaisquer dois dos 27 grupos ou não compartilham nenhuma célula, ou compartilham um número fixo delas. Há 351 maneiras de escolher dois grupos, e só 135 desses pares se sobrepõem:

Cada fileira cruza cada coluna, em exatamente uma célula. Cada fileira passa por exatamente três caixas, tirando três células de cada uma. Grupos do mesmo tipo nunca se tocam. Vista de uma célula, sua fileira, coluna e caixa contêm 20 outras células: oito na fileira, oito na coluna e as quatro da caixa que não estão nem em uma nem em outra. Só essas 20 decidem se seus grupos se completam.

Big Ben Blocks: Quebra-cabeça de Blocos usa exatamente este tabuleiro: as peças vão em uma grade 9x9, e completar uma fileira, uma coluna ou uma caixa 3x3 libera espaço.

O que um bloco pode limpar

Como uma célula pertence a três grupos, o último bloco colocado em uma célula pode completar até três deles de uma vez. Se sua fileira, sua coluna e sua caixa têm cada uma oito células preenchidas e esta é a nona para as três, uma única jogada completa três grupos. O espaço que volta é a união dos três, não a soma, porque eles se sobrepõem:

1. Fileira, coluna e caixa juntas: 21 células. 9 + 9 + 9, menos as células compartilhadas: 1 entre fileira e coluna, 3 entre fileira e caixa, 3 entre coluna e caixa, mais a 1 célula que as três compartilham, somada de volta. Isso dá pouco mais de um quarto do tabuleiro.
2. Duas fileiras ou duas colunas: 18 células. Linhas paralelas nunca se sobrepõem, então nada se perde.
3. Uma fileira e uma coluna: 17 células. Elas se cruzam em uma célula.
4. Uma linha e uma caixa pela qual ela passa: 15 células. Elas compartilham três.

Então, quando duas jogadas de finalização completam cada uma dois grupos, um par de linhas que se cruzam libera mais espaço que uma linha mais uma caixa, e duas linhas paralelas liberam o máximo.

Contando o que uma peça toca

Uma jogada só pode completar grupos em que coloca ao menos um bloco. Então, para qualquer formato, conte as fileiras, colunas e caixas distintas que ele ocupa: esse total é o teto do que a jogada pode limpar. É um teto, já que todas as outras células desses grupos já precisam estar preenchidas.

O mesmo formato alcança um número diferente de grupos dependendo de onde está em relação às bordas das caixas. Alguns exemplos, sejam quais forem as peças que o jogo distribua:

• Duas células lado a lado dentro de uma caixa tocam 1 fileira, 2 colunas e 1 caixa: 4 grupos. Deslize-as para cruzar a borda de uma caixa e elas tocam 5.
• Três em linha dentro de uma caixa tocam 5 grupos. Desloque uma célula para que cruzem uma borda e tocam 6.
• Um quadrado 2x2 dentro de uma caixa toca 5 grupos. Centrado no canto onde quatro caixas se encontram, toca 2 fileiras, 2 colunas e 4 caixas: 8.
• Um quadrado 3x3 que preenche exatamente uma caixa toca 7. Deslocado em uma célula em cada direção, se espalha por quatro caixas e toca 10.

Cruzar uma borda não é automaticamente melhor. Isso eleva o teto, mas cada caixa que ela toca e não finaliza fica com mais trabalho parcialmente feito.

Limpeza de linhas e limpeza de caixas não são eventos do mesmo tamanho

Qualquer limpeza única libera nove células, um nono do tabuleiro. O que muda é o alcance do efeito.

As nove células de uma fileira estão em nove colunas diferentes e três caixas diferentes. Limpá-la faz recuar doze outros grupos de uma vez: uma célula em cada coluna, três em cada uma de três caixas. As nove células de uma caixa estão em três fileiras e três colunas, então limpar uma caixa faz recuar só seis outros grupos, em três células cada. Uma limpeza de linha se espalha de forma fina por todo o tabuleiro, e uma limpeza de caixa cria um buraco compacto 3x3.

Duas consequências decorrem disso. Uma limpeza de caixa deixa um buraco em que uma peça compacta pode encaixar, enquanto uma fileira limpa deixa uma faixa 1x9 que só peças planas cabem. E uma limpeza de fileira pode fazer recuar uma coluna que estava a uma de completar, ao esvaziar a célula dela naquela fileira, então vale verificar as nove colunas que se cruzam antes de limpar uma linha.

Teste o hábito no modo Classic, sem cronômetro, do Big Ben Blocks, onde não há relógio para apressar a verificação.

Lendo o tabuleiro em trios

O hábito que a geometria sugere é simples: quando olhar uma célula vazia, verifique seus três grupos, não só a linha que você estava montando. Uma célula cuja fileira, coluna e caixa estão quase cheias é a mais valiosa do tabuleiro. Uma célula cujos três grupos estão quase vazios ajuda nenhum deles em breve, e preenchê-la geralmente só gasta espaço.

A mesma contagem funciona ao contrário quando o tabuleiro está cheio. Um bloco só sai do tabuleiro quando um de seus três grupos é limpo, então um bloco cuja fileira, coluna e caixa têm cada uma uma lacuna incômoda em outro lugar fica parado até uma dessas lacunas ser preenchida.