9x9のブロックグリッドの各マスが3本のラインに属する理由

行、列、3x3のボックスを消す9x9のブロックパズルには、完成させられるグループが27個あります。それぞれ9個ずつです。各グループは9マスなので、グループ全体では243のマス位置を持ち、そのマス位置は81マスのボードに分散しています。割ると、どのマスも正確に3回ずつ数えられます。平均ではなく、角でも中央でも、どのマスも必ず1つの行、1つの列、1つの箱に属しています。

ボックスは厳密には線ではありませんが、線と同じように振る舞います。9マスを埋めれば消えます。これらは数独のグリッドが使うのと同じ27個のグループです。

グループの重なり方

27個のグループのうち任意の2つは、まったくマスを共有しないか、決まった数のマスを共有します。2つのグループの組み合わせは351通りあり、そのうち重なるのは135組だけです：

どの行もどの列とも、ちょうど1マスで交わります。どの行もちょうど3つのボックスを通り、それぞれから3マスずつ取ります。同じ種類のグループ同士は決して交わりません。あるマスから見ると、その行、列、ボックスには他に20マスあります。行に8マス、列に8マス、そしてボックス内で行にも列にも属さない4マスです。グループが完成するかどうかを決めるのは、この20マスだけです。

Big Ben Blocks: Block Puzzle はまさにこのボードを使います。ピースは9x9のグリッドに置かれ、行、列、3x3ボックスのいずれかを完成させると、スペースが空きます。

1つのブロックで消せるもの

マスは3つのグループに属するので、マスに最後に置かれたブロックは、一度に最大3つのグループを完成させられます。行、列、ボックスがそれぞれ8マス埋まっていて、このマスがそのすべての9番目になる場合、1回の配置で3つのグループが完成します。戻ってくる空きスペースは3つの合計ではなく、重なりを除いた和集合です：

1. 行、列、ボックスを合わせると：21マス。 9 + 9 + 9 から共有マスを引きます：行と列の間で1、行とボックスの間で3、列とボックスの間で3。そこに、3つすべてが共有する1マスを足し戻します。ボードのちょうど4分の1を少し超えます。
2. 2つの行または2つの列：18マス。 平行な線は決して重ならないので、何も失われません。
3. 1つの行と1つの列：17マス。 両者は1マスで交わります。
4. 線と、それが通るボックス：15マス。 両者は3マスを共有します。

そのため、2つの完成手がそれぞれ2つのグループを完成させる場合、交差する2本の線は線とボックスの組み合わせより多くのスペースを空けます。そして平行な2本の線が最も多く空けます。

ピースが触れるものを数える

配置で完成させられるのは、少なくとも1つのブロックを置いたグループだけです。そのため、どの形でも、それが占める異なる行、列、ボックスの数を数えます。その合計が、その配置で消せるものの上限です。上限であるのは、それらのグループの他のすべてのマスがすでに埋まっていなければならないからです。

同じ形でも、ボックスの境界に対してどこに置かれるかによって、到達するグループの数は異なります。ゲームがどの形を配っても当てはまる例をいくつか示します：

• 1つのボックス内で横に並んだ2マスは、1行、2列、1ボックスに触れ、4グループになります。ボックスの境界をまたぐようにずらすと、5グループに触れます。
• 1つのボックス内で横一列に並んだ3マスは、5グループに触れます。1マスずらして境界をまたぐと、6グループに触れます。
• 1つのボックス内の2x2の正方形は5グループに触れます。4つのボックスが接する角を中心にすると、2行、2列、4ボックスに触れ、合計8になります。
• ボックスをちょうど埋める3x3の正方形は7グループに触れます。各方向に1マスずらすと、4つのボックスにまたがり、10グループに触れます。

境界をまたぐことが自動的に良いわけではありません。上限は上がりますが、触れたのに完成させられなかった各ボックスには、作りかけの作業がより多く残ります。

行の消去とボックスの消去は、同じ規模の出来事ではありません

どの単独の消去も9マス、つまりボードの9分の1を空けます。違いは、その効果がどこまで広がるかです。

行の9マスは、9つの異なる列と3つの異なるボックスにあります。それを消すと、他の12グループに同時に影響します。各列に1マス、3つのボックスにそれぞれ3マスずつです。ボックスの9マスは3つの行と3つの列にあるので、ボックスを消すと影響を受けるのは他の6グループだけで、それぞれ3マスずつです。行の消去はボード全体に薄く広がり、ボックスの消去はコンパクトな3x3の穴を作ります。

そこから2つの結果が導かれます。ボックスの消去は、コンパクトなピースが入り込める穴を残します。一方、消えた行は1x9の細長い帯を残し、それには平たい形のピースしか合いません。さらに、行の消去は、その行のマスを空にすることで、あと1マスで完成していた列を後退させることがあるため、行を取る前に交差する9つの列を確認する価値があります。

の時間制限なしのクラシックモードで、この習慣を試してみてください Big Ben Blocks。そこではチェックを急かす時計がありません。

ボードを3つずつ読む

幾何学が示す習慣は単純です。空いているマスを見るとき、作っている線だけでなく、そのマスの3つのグループすべてを確認しましょう。行、列、ボックスがすべてほぼ埋まっているマスは、ボード上で最も価値があります。3つのグループがほぼ空のマスは、すぐにはどのグループの助けにもならず、埋めるとたいていスペースを消費するだけです。

ボードが混み合ってくると、同じ数え方を逆に使えます。ブロックがボードから消えるのは、3つのグループのいずれかが消えたときだけです。そのため、行、列、ボックスのそれぞれに、別の場所で厄介な空きがあるブロックは、それらの空きのどれかが埋まるまで動かずに残ります。