Warum jede Zelle eines 9x9-Blockrasters zu drei Linien gehört

Ein 9x9-Blockrätsel, bei dem Reihen, Spalten und 3x3-Boxen geräumt werden, hat 27 Gruppen, die man vervollständigen kann: je neun von jeder Art. Jede Gruppe umfasst neun Felder, also belegen die Gruppen zusammen 243 Feldplätze, verteilt auf einem Brett mit nur 81 Feldern. Teilt man das eine durch das andere, wird jedes Feld genau dreimal gezählt. Nicht im Durchschnitt: Jedes Feld, Ecke oder Mitte, liegt genau in einer Reihe, einer Spalte und einer Box.

Eine Box ist streng genommen keine Linie, verhält sich aber wie eine: Füllst du ihre neun Felder, wird sie geräumt. Es sind dieselben 27 Gruppen, die ein Sudoku-Gitter verwendet.

Wie sich die Gruppen überschneiden

Zwei beliebige der 27 Gruppen haben entweder gar keine Felder gemeinsam oder eine feste Anzahl davon. Es gibt 351 Möglichkeiten, zwei Gruppen zu wählen, und nur 135 dieser Paare überschneiden sich:

Jede Reihe kreuzt jede Spalte, und zwar in genau einem Feld. Jede Reihe verläuft durch genau drei Boxen und nimmt aus jeder drei Felder. Gruppen derselben Art berühren sich nie. Von einem Feld aus gesehen enthalten seine Reihe, Spalte und Box 20 weitere Felder: acht in der Reihe, acht in der Spalte und die vier in seiner Box, die in keiner der beiden liegen. Nur diese 20 entscheiden, ob seine Gruppen vervollständigt werden.

Big Ben Blocks: Block Puzzle verwendet genau dieses Brett: Teile werden auf ein 9x9-Gitter gelegt, und das Vervollständigen einer Reihe, einer Spalte oder einer 3x3-Box schafft Platz.

Was ein Block räumen kann

Da ein Feld zu drei Gruppen gehört, kann der letzte Block, der in ein Feld gelegt wird, bis zu drei davon auf einmal abschließen. Wenn seine Reihe, seine Spalte und seine Box jeweils acht gefüllte Felder haben und dies für alle drei das neunte ist, schließt eine Platzierung drei Gruppen ab. Der frei werdende Platz ist die Vereinigung der drei, nicht ihre Summe, weil sie sich überschneiden:

1. Reihe, Spalte und Box zusammen: 21 Felder. 9 + 9 + 9, abzüglich der gemeinsamen Felder: 1 zwischen Reihe und Spalte, 3 zwischen Reihe und Box, 3 zwischen Spalte und Box, plus das 1 Feld, das alle drei teilen, wieder hinzugerechnet. Das ist knapp über ein Viertel des Bretts.
2. Zwei Reihen oder zwei Spalten: 18 Felder. Parallele Linien überschneiden sich nie, also geht nichts verloren.
3. Eine Reihe und eine Spalte: 17 Felder. Sie kreuzen sich in einem Feld.
4. Eine Linie und eine Box, die sie durchquert: 15 Felder. Sie teilen sich drei.

Wenn also zwei abschließende Züge jeweils zwei Gruppen vervollständigen, räumt ein sich kreuzendes Linienpaar mehr Platz frei als eine Linie plus eine Box, und zwei parallele Linien räumen am meisten frei.

Zählen, was ein Teil berührt

Eine Platzierung kann nur Gruppen abschließen, in die sie mindestens einen Block legt. Zähle für jede Form also die verschiedenen Reihen, Spalten und Boxen, die sie belegt: Diese Summe ist die Obergrenze dessen, was die Platzierung räumen kann. Es ist eine Obergrenze, da alle übrigen Felder in diesen Gruppen bereits gefüllt sein müssen.

Dieselbe Form erreicht je nach Lage zu den Box-Grenzen eine unterschiedliche Anzahl Gruppen. Einige Beispiele, egal welche Formen ein Spiel austeilt:

• Zwei nebeneinanderliegende Felder innerhalb einer Box berühren 1 Reihe, 2 Spalten und 1 Box: 4 Gruppen. Verschiebt man sie so, dass sie eine Box-Grenze überqueren, berühren sie 5.
• Drei in einer Reihe innerhalb einer Box berühren 5 Gruppen. Verschiebt man sie um ein Feld, sodass sie eine Grenze überqueren, berühren sie 6.
• Ein 2x2-Quadrat innerhalb einer Box berührt 5 Gruppen. Zentriert auf die Ecke, an der vier Boxen aufeinandertreffen, berührt es 2 Reihen, 2 Spalten und 4 Boxen: 8.
• Ein 3x3-Quadrat, das genau eine Box ausfüllt, berührt 7. Um jeweils ein Feld in jede Richtung versetzt, verteilt es sich über vier Boxen und berührt 10.

Eine Grenze zu überqueren ist nicht automatisch besser. Es hebt die Obergrenze an, aber jede Box, die es berührt und nicht abschließt, bleibt mit mehr halbfertiger Arbeit zurück.

Reihen- und Box-Räumungen sind nicht gleich groß

Jede einzelne Räumung gibt neun Felder frei, ein Neuntel des Bretts. Was sich unterscheidet, ist, wie weit die Wirkung reicht.

Die neun Felder einer Reihe liegen in neun verschiedenen Spalten und drei verschiedenen Boxen. Räumt man sie, werfen zwölf andere Gruppen gleichzeitig zurück: je ein Feld in jeder Spalte, drei in jeder von drei Boxen. Die neun Felder einer Box liegen in drei Reihen und drei Spalten, daher wirft das Räumen einer Box nur sechs andere Gruppen zurück, jeweils um drei Felder. Eine Reihen-Räumung verteilt sich dünn über das ganze Brett, eine Box-Räumung hinterlässt ein kompaktes 3x3-Loch.

Daraus folgen zwei Konsequenzen. Eine Box-Räumung hinterlässt ein Loch, in das ein kompaktes Teil passt, während eine geräumte Reihe einen 1x9-Streifen hinterlässt, in den nur flache Formen passen. Und eine Reihen-Räumung kann eine Spalte zurückwerfen, der nur noch ein Feld fehlte, indem sie deren Feld in dieser Reihe leert. Deshalb lohnt es sich, die neun kreuzenden Spalten zu prüfen, bevor man eine Reihe räumt.

Probiere die Gewohnheit im Classic-Modus ohne Zeitlimit von Big Ben Blocks, in dem dich keine Uhr bei der Prüfung drängt.

Das Brett in Dreiergruppen lesen

Die Gewohnheit, die die Geometrie nahelegt, ist einfach: Wenn du ein leeres Feld betrachtest, prüfe alle drei seiner Gruppen, nicht nur die Linie, die du gerade baust. Ein Feld, dessen Reihe, Spalte und Box fast voll sind, ist das wertvollste auf dem Brett. Ein Feld, dessen drei Gruppen fast leer sind, hilft keiner davon bald, und es zu füllen verbraucht vor allem Platz.

Dieselbe Zählung funktioniert umgekehrt, wenn das Brett voll ist. Ein Block verlässt das Brett erst, wenn eine seiner drei Gruppen geräumt wird. Ein Block, dessen Reihe, Spalte und Box jeweils eine unpassende Lücke an anderer Stelle haben, bleibt liegen, bis eine dieser Lücken gefüllt ist.