Por qué cada celda de una cuadrícula 9x9 está en tres líneas

Un puzle de bloques 9x9 que limpia filas, columnas y cajas 3x3 tiene 27 grupos que puedes completar: nueve de cada tipo. Cada grupo tiene nueve celdas, así que entre todos suman 243 posiciones de celda, repartidas en un tablero de solo 81 celdas. Divide una cifra entre la otra y cada celda se cuenta exactamente tres veces. No en promedio: cada celda, esquina o centro, está en exactamente una fila, una columna y una caja.

Una caja no es estrictamente una línea, pero se comporta como una: llena sus nueve celdas y se limpia. Son los mismos 27 grupos que usa una cuadrícula de Sudoku.

Cómo se solapan los grupos

Dos cualesquiera de los 27 grupos, o no comparten ninguna celda o comparten un número fijo de ellas. Hay 351 formas de elegir dos grupos, y solo 135 de esos pares se solapan:

Cada fila cruza cada columna, en exactamente una celda. Cada fila atraviesa exactamente tres cajas, tomando tres celdas de cada una. Los grupos del mismo tipo nunca se tocan. Vista desde una celda, su fila, su columna y su caja contienen 20 celdas más: ocho en la fila, ocho en la columna y las cuatro de su caja que no están en ninguna de las dos. Solo esas 20 deciden si se completan sus grupos.

Big Ben Blocks: Block Puzzle usa exactamente este tablero: las piezas van en una cuadrícula 9x9 y completar una fila, una columna o una caja 3x3 libera espacio.

Qué puede limpiar un solo bloque

Como una celda pertenece a tres grupos, el último bloque colocado en ella puede completar hasta tres a la vez. Si su fila, su columna y su caja tienen cada una ocho celdas llenas y esta es la novena para las tres, una sola colocación completa tres grupos. El espacio que se libera es la unión de los tres, no su suma, porque se solapan:

1. Fila, columna y caja juntas: 21 celdas. 9 + 9 + 9, menos las celdas compartidas: 1 entre fila y columna, 3 entre fila y caja, 3 entre columna y caja, más la 1 celda que comparten las tres, que se vuelve a sumar. Eso es algo más de un cuarto del tablero.
2. Dos filas o dos columnas: 18 celdas. Las líneas paralelas nunca se solapan, así que no se pierde nada.
3. Una fila y una columna: 17 celdas. Se cruzan en una celda.
4. Una línea y una caja por la que pasa: 15 celdas. Comparten tres.

Así que cuando dos jugadas de remate completan cada una dos grupos, un par de líneas que se cruzan libera más espacio que una línea más una caja, y dos líneas paralelas liberan el máximo.

Contar lo que toca una pieza

Una colocación solo puede completar grupos en los que deposita al menos un bloque. Así que, para cualquier forma, cuenta las filas, columnas y cajas distintas que ocupa: ese total es el techo de lo que puede limpiar la colocación. Es un techo, ya que todas las demás celdas de esos grupos deben estar ya llenas.

La misma forma alcanza un número distinto de grupos según dónde se coloque respecto a los bordes de las cajas. Algunos ejemplos, sean cuales sean las formas que reparte un juego:

• Dos celdas contiguas dentro de una misma caja tocan 1 fila, 2 columnas y 1 caja: 4 grupos. Desplázalas para que crucen un borde de caja y tocarán 5.
• Tres en línea dentro de una caja tocan 5 grupos. Desplázalas una celda para que crucen un borde y tocarán 6.
• Un cuadrado de 2x2 dentro de una caja toca 5 grupos. Centrado en la esquina donde se encuentran cuatro cajas, toca 2 filas, 2 columnas y 4 cajas: 8.
• Un cuadrado de 3x3 que llena exactamente una caja toca 7. Desplazado una celda en cada dirección, se extiende por cuatro cajas y toca 10.

Cruzar un borde no es automáticamente mejor. Eleva el techo, pero cada caja que toca y no completa queda con más trabajo a medio hacer.

Los despejes de líneas y de cajas no son del mismo tamaño

Cualquier despeje libera nueve celdas, una novena parte del tablero. Lo que cambia es hasta dónde se extiende el efecto.

Las nueve celdas de una fila están en nueve columnas distintas y en tres cajas distintas. Al despejarla se retrasan a la vez otros doce grupos: una celda en cada columna, y tres en cada una de tres cajas. Las nueve celdas de una caja están en tres filas y tres columnas, así que al despejar una caja solo se retrasan otros seis grupos, con tres celdas cada uno. El despeje de una línea se reparte finamente por todo el tablero, y el de una caja deja un hueco compacto de 3x3.

De ello se derivan dos consecuencias. Un despeje de caja deja un hueco en el que puede encajar una pieza compacta, mientras que un despeje de fila deja una tira de 1x9 en la que solo encajan las formas planas. Y un despeje de fila puede retrasar una columna que estaba a una celda de completarse, al vaciar su celda en esa fila, así que conviene revisar las nueve columnas que cruza antes de despejar una línea.

Prueba el hábito en el modo Classic sin tiempo de Big Ben Blocks, donde no hay reloj que te apure la comprobación.

Leer el tablero de tres en tres

El hábito que sugiere la geometría es sencillo: cuando miras una celda vacía, comprueba sus tres grupos, no solo la línea que estabas construyendo. Una celda cuya fila, columna y caja están casi llenas es la más valiosa del tablero. Una celda cuyos tres grupos están casi vacíos no ayuda pronto a ninguno, y llenarla consume sobre todo espacio.

El mismo recuento funciona al revés cuando el tablero está lleno. Un bloque solo sale del tablero cuando se limpia uno de sus tres grupos, así que un bloque cuyas fila, columna y caja tienen cada una un hueco incómodo en otro lugar se queda en su sitio hasta que se rellena uno de esos huecos.