Почему каждая клетка сетки 9x9 принадлежит трём линиям

В головоломке с блоками 9x9, где очищаются ряды, столбцы и квадраты 3x3, есть 27 групп, которые можно заполнить: по девять каждого вида. Каждая группа — девять ячеек, поэтому группы вместе содержат 243 места для ячеек, распределённых по полю всего из 81 ячейки. Разделите одно на другое, и каждая ячейка учитывается ровно три раза. Не в среднем: каждая ячейка, угловая или центральная, входит ровно в один ряд, один столбец и один квадрат.

Квадрат не совсем линия, но ведёт себя как линия: заполните его девять ячеек, и он очистится. Это те же 27 групп, что используются в сетке судоку.

Как группы пересекаются

Любые две из 27 групп либо не имеют общих ячеек, либо имеют фиксированное их число. Есть 351 способ выбрать две группы, и только 135 таких пар пересекаются:

Каждый ряд пересекает каждый столбец ровно в одной ячейке. Каждый ряд проходит ровно через три квадрата, по три ячейки из каждого. Группы одного вида никогда не пересекаются. Если смотреть из одной ячейки, в её ряду, столбце и квадрате есть 20 других ячеек: восемь в ряду, восемь в столбце и четыре в квадрате, которые не входят ни в то, ни в другое. Только эти 20 ячеек решают, завершатся ли её группы.

Big Ben Blocks: Block Puzzle использует именно это поле: фигуры ставятся на сетку 9x9, и завершение ряда, столбца или квадрата 3x3 освобождает место.

Что может очистить один блок

Поскольку ячейка принадлежит трём группам, последний блок, поставленный в ячейку, может завершить сразу до трёх из них. Если в её ряду, столбце и квадрате заполнено по восемь ячеек и эта ячейка — девятая для всех трёх, одна постановка завершает три группы. Освобождается объединение этих трёх, а не их сумма, потому что они пересекаются:

1. Ряд, столбец и квадрат вместе: 21 ячейка. 9 + 9 + 9 минус общие ячейки: 1 между рядом и столбцом, 3 между рядом и квадратом, 3 между столбцом и квадратом, плюс 1 ячейка, общая для всех трёх, добавляется обратно. Это чуть больше четверти поля.
2. Два ряда или два столбца: 18 ячеек. Параллельные линии никогда не пересекаются, поэтому ничего не теряется.
3. Ряд и столбец: 17 ячеек. Они пересекаются в одной ячейке.
4. Линия и квадрат, через который она проходит: 15 ячеек. Они имеют три общие ячейки.

Поэтому, когда два завершающих хода каждый завершают по две группы, пересекающаяся пара линий освобождает больше места, чем линия плюс квадрат, а две параллельные линии освобождают больше всего.

Подсчёт того, что задевает фигура

Постановка может завершить только те группы, в которые попадает хотя бы один блок. Поэтому для любой фигуры подсчитайте различные ряды, столбцы и квадраты, которые она занимает: эта сумма — потолок того, что может очистить постановка. Это именно потолок, потому что все остальные ячейки этих групп уже должны быть заполнены.

Одна и та же фигура охватывает разное число групп в зависимости от того, где она стоит относительно границ квадратов. Несколько примеров, какими бы ни были фигуры в игре:

• Две ячейки рядом внутри одного квадрата касаются 1 ряда, 2 столбцов и 1 квадрата: 4 группы. Сдвиньте их так, чтобы они пересекали границу квадрата, и они коснутся 5.
• Три в ряд внутри одного квадрата касаются 5 групп. Сдвиньте их на одну ячейку так, чтобы они пересекли границу, и они коснутся 6.
• Квадрат 2x2 внутри одного квадрата 3x3 касается 5 групп. Если поставить его на угол, где сходятся четыре квадрата, он касается 2 рядов, 2 столбцов и 4 квадратов: 8.
• Квадрат 3x3, точно заполняющий квадрат 3x3, касается 7. Сдвинутый на одну ячейку по каждой оси, он распространяется на четыре квадрата и касается 10.

Пересечение границы не обязательно лучше. Оно поднимает потолок, но каждый квадрат, который фигура задевает и не завершает, остаётся с большим объёмом незаконченной работы.

Очистка линий и квадратов — события разного масштаба

Любая очистка освобождает девять ячеек, то есть девятую часть поля. Отличается то, насколько далеко распространяется эффект.

Девять ячеек ряда находятся в девяти разных столбцах и трёх разных квадратах. Его очистка одновременно отбрасывает назад двенадцать других групп: по одной ячейке в каждом столбце и по три в каждом из трёх квадратов. Девять ячеек квадрата находятся в трёх рядах и трёх столбцах, поэтому очистка квадрата отбрасывает назад только шесть других групп, по три ячейки каждая. Очистка линии тонко распределяется по всему полю, а очистка квадрата создаёт компактную дыру 3x3.

Из этого следуют два вывода. Очистка квадрата оставляет дыру, в которую может встать компактная фигура, а очищенный ряд оставляет полосу 1x9, куда подходят только плоские фигуры. И очистка ряда может отбросить назад столбец, которому не хватало одной ячейки, опустошив его ячейку в этом ряду, поэтому стоит проверить девять пересекающихся столбцов, прежде чем брать линию.

Попробуйте этот приём в режиме Classic без таймера в Big Ben Blocks, где нет часов, которые торопят проверку.

Чтение поля по тройкам

Привычка, которую подсказывает геометрия, проста: глядя на пустую ячейку, проверяйте все три её группы, а не только ту линию, которую строите. Ячейка, в которой ряд, столбец и квадрат почти полны, — самая ценная на поле. Ячейка, у которой три группы почти пусты, не поможет ни одной из них в ближайшее время, и её заполнение в основном тратит место.

Тот же подсчёт работает и в обратную сторону, когда поле переполнено. Блок уходит с поля только тогда, когда очищается одна из его трёх групп, поэтому блок, у которого в ряду, столбце и квадрате есть неудобные пропуски в других местах, остаётся на месте, пока не заполнится один из этих пропусков.