Nach einer langen Serie ohne Bonus hat man natürlich das Gefühl, dass einer bald kommen muss. Das Gefühl hat einen Namen, den Spielerfehlschluss, und es ist aus einem einfachen Grund falsch: Eine Zufallsdrehung weiß nicht, was die vorherigen Drehungen getan haben. Dieser Beitrag rechnet mit einem erfundenen Feature, das bei 1 von 100 Drehungen erscheint. Die Zahl dient der Veranschaulichung, sie ist keine Rate eines bestimmten Spiels, und die ganze Mathematik lässt sich mit einem Taschenrechner nachprüfen.
Was unabhängig bedeutet
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Wissen über das Ergebnis des einen nichts über das andere verrät. Jede Drehung eines Zufalls-Slots zieht ein neues Ergebnis, daher liegt die Chance auf das Feature bei Drehung 501 bei 1 zu 100, egal ob die vorherigen 500 Drehungen es fünfmal, einmal oder nie hervorgebracht haben.
Derselbe Punkt gilt für das Raster selbst. Ein Spiel mit Gewinnwegen, etwa das 243-Wege-Layout, das beschrieben wird in was 243 Wege zu gewinnen bedeutet, zeigt bei jeder Drehung einen neuen Satz Symbole. Die Zahl der Gewinnwege einer Drehung wird nicht an die nächste weitergegeben.
Die Annahme, ein Feature sei „fällig“, braucht irgendwo einen Zähler, der sich füllt und dann auszahlt. Sind die Ergebnisse zufällig und unabhängig, gibt es keinen solchen Zähler. Eine Münze, die neunmal Kopf gezeigt hat, landet beim zehnten Wurf trotzdem mit 50% Wahrscheinlichkeit auf Kopf.
Die Chance einer Durststrecke
Hat ein Feature eine Chance von 1 zu 100 pro Drehung, liegt die Chance, es bei einer Drehung zu verpassen, bei 99/100 = 0.99. Da die Drehungen unabhängig sind, multiplizieren sich die Chancen, mehrere hintereinander zu verpassen:
P(kein Treffer in n Drehungen) = 0.99n
Für n = 100 ergibt sich 0.99100 = 36.6%. Viele erwarten, dass ein Feature mit 1 zu 100 innerhalb von 100 Drehungen erscheint. Das passiert nur in 63.4% der Fälle, es bleibt also in mehr als einem Drittel der Fälle aus. Hundert Drehungen sind die durchschnittliche Wartezeit, keine Garantie.
| Drehungen | Chance auf mindestens einen Treffer | Chance auf keinen Treffer |
|---|---|---|
| 50 | 39.5% | 60.5% |
| 69 | 50.0% | 50.0% |
| 100 | 63.4% | 36.6% |
| 200 | 86.6% | 13.4% |
| 300 | 95.1% | 4.9% |
Zwei Dinge fallen auf. Der Punkt des Gleichstands liegt bei 69 Drehungen, nicht bei 100: 0.9969 ist knapp unter einer Hälfte, also ist der erste Treffer in mehr als der Hälfte der Fälle bis Drehung 69 eingetroffen. Und eine Durststrecke von 200 Drehungen ist nicht selten. Sie tritt etwa einmal in 7.5 Fällen auf, eine von 300 Drehungen etwa einmal in 20.
Die Wartezeit hat kein Gedächtnis
Die Anzahl der Drehungen bis zum ersten Treffer folgt der sogenannten geometrischen Verteilung. Ihr Mittelwert ist 1 ÷ p, hier also 1 ÷ 0.01 = 100 Drehungen. Die Streuung ist breit: Die Standardabweichung ist √(1 − p) ÷ p, etwa 99.5 Drehungen, fast genauso groß wie der Mittelwert. Deshalb tauchen im normalen Spiel sowohl Wartezeiten von 20 als auch von 300 Drehungen auf.
Die Form hat eine überraschende Eigenschaft. Hast du bereits 100 Drehungen ohne Treffer hinter dir, ist die Chance, weitere 100 ohne Treffer zu schaffen, ist
0.99200 ÷ 0.99100 = 0.99100 = 36.6%
und das ist dieselbe Zahl wie bei einem Neustart. Die 100 trockenen Drehungen kürzen sich aus der Rechnung heraus. Das ist Gedächtnislosigkeit, und sie gilt für jede Länge einer Durststrecke: Die erwartete Zahl verbleibender Drehungen bis zum Treffer ist 100 nach 10 trockenen Drehungen, nach 100 und nach 1,000. Eine lange Durststrecke bringt dir keinen Vorsprung, und sie kostet dich auch keinen.
Die erwartete Wartezeit für ein Feature mit 1 zu 100 beträgt ab jetzt jedes Mal 100 Drehungen. Sie ist nie 100 minus die bereits gespielten Drehungen.
Serien wirken seltsam und sind normal
Eine Durststrecke von 100 Drehungen wirkt wie ein Beweis, dass sich etwas geändert hat. Vergleiche sie mit ihrem Spiegelbild: Eine faire Münze, hundertmal geworfen, enthält häufiger als nicht eine Serie von sechs oder mehr Köpfen oder Zahlen. Serien sind genau das, was Unabhängigkeit erzeugt. Gleichmäßig verteilte Treffer wären das eigentlich Überraschende, denn sie würden bedeuten, dass jede Drehung das vorherige Ergebnis irgendwie kennt.
Was das Gesetz der großen Zahlen tatsächlich sagt
Manche antworten, langfristig müsse sich alles ausgleichen. Das tut es, proportional, aber nicht durch Korrektur. Nach 1,000 Drehungen erwartet man 10 Treffer. Blieben die ersten 100 Drehungen ohne Treffer, werden für die übrigen 900 immer noch 9 erwartet, die Gesamtzahl wird also 9 statt 10 betragen. Das Defizit wird nicht nachgeholt; es geht nur im Wachsen der Drehungen unter. Eine Lücke von einem Treffer bei 10 ist nach 1,000 Drehungen ein Unterschied von 10% und nach einer Million nur noch ein Bruchteil eines Prozents.
Selbst nachprüfen
- Nutze einen Taschenrechner. Gib 0.99 ein und potenziere es mit 100. Du solltest 0.366 erhalten.
- Ändere die Quoten. Für ein Feature mit 1 zu 50 ist dieselbe Summe 0.9850 = 36.4%. Die durchschnittliche Wartezeit ist die Zahl in den Quoten, und die Chance, sie so lange zu verpassen, liegt immer bei etwa 37%. Diese 37% sind 1 ÷ e aus der Grenzwertrechnung, und sie nähert sich diesem Wert, je länger die Quoten werden.
Das Yarn-Pick-Bonusspiel in Brasslight Slots: Casino Games öffnet sich, wenn drei Wollknäuel landen, und das Beispiel mit 1 zu 100 oben ist rein hypothetisch: Dieser Beitrag behauptet nicht, wie oft etwas im Spiel erscheint. Übertragbar ist die Methode. Welche echte Häufigkeit ein Feature auch hat, eine Durststrecke ohne es erhöht nicht die Chance darauf bei der nächsten Drehung.
Wie die Symbole einer einzelnen Drehung gezählt werden, siehe wie ein Wild die Anzahl bei einem Slot mit Gewinnwegen verändert.
Brasslight Slots: Casino Games ist ein Slot mit Katzenthema, 5 Walzen und 243 Gewinnwegen, mit Yarn-Pick-Bonus, täglichem Preisrad sowie Turbo- und Auto-Spin. Es verwendet nur virtuelle Münzen, es gibt kein echtes Geld, und Münzen und Edelsteine haben keinen Geldwert.