Tras una larga racha sin bonificación, es natural sentir que debe estar cerca. Ese sentimiento tiene nombre, la falacia del jugador, y es erróneo por una razón simple: un giro aleatorio no sabe lo que hicieron los giros anteriores. Esta entrada trabaja con números usando una función inventada que aparece en 1 de cada 100 giros. La cifra es una ilustración, no una tasa tomada de ningún juego concreto, y todas las matemáticas pueden comprobarse con una calculadora.
Qué significa independiente
Dos sucesos son independientes cuando conocer el resultado de uno no te dice nada sobre el otro. Cada giro de una tragaperras aleatoria genera un resultado nuevo, así que la probabilidad de la función en el giro 501 es de 1 entre 100, tanto si los 500 giros anteriores la produjeron cinco veces, una vez o ninguna.
El mismo punto vale para la cuadrícula en sí. Un juego de formas de ganar, como la distribución de 243 formas descrita en qué significan las 243 formas de ganar, muestra un nuevo conjunto de símbolos en cada giro. El recuento de formas en un giro no se traslada al siguiente.
La creencia de que una función «toca» necesita un contador en algún sitio que se llena y luego paga. Si los resultados son aleatorios e independientes, no hay tal contador. Una moneda que ha salido cara nueve veces sigue teniendo un 50% de probabilidad de salir cara en la décima.
La probabilidad de una sequía
Si una función tiene una probabilidad de 1 entre 100 por giro, la de fallarla en un giro es 99/100 = 0.99. Como los giros son independientes, las probabilidades de fallar varios seguidos se multiplican:
P(ningún acierto en n giros) = 0.99n
Para n = 100 es 0.99100 = 36.6%. Mucha gente espera que una función de 1 entre 100 aparezca en 100 giros. Solo lo hace el 63.4% de las veces, y falla más de un tercio de las veces. Cien giros es la espera media, no una garantía.
| Giros | Probabilidad de al menos un acierto | Probabilidad de ningún acierto |
|---|---|---|
| 50 | 39.5% | 60.5% |
| 69 | 50.0% | 50.0% |
| 100 | 63.4% | 36.6% |
| 200 | 86.6% | 13.4% |
| 300 | 95.1% | 4.9% |
Dos cosas destacan. El punto del 50% está en 69 giros, no en 100: 0.9969 está justo por debajo de la mitad, así que más de la mitad de las veces el primer acierto ha llegado antes del giro 69. Y una sequía de 200 giros no es rara. Ocurre aproximadamente una vez cada siete y medio, y una de 300 giros, aproximadamente una vez cada 20.
El tiempo de espera no tiene memoria
El número de giros hasta el primer acierto sigue lo que los estadísticos llaman distribución geométrica. Su media es 1 ÷ p, que aquí es 1 ÷ 0.01 = 100 giros. Su dispersión es amplia: la desviación típica es √(1 − p) ÷ p, unos 99.5 giros, casi del mismo tamaño que la media. Por eso, esperas de 20 giros y de 300 giros aparecen ambas en el juego normal.
La distribución tiene una propiedad que sorprende a la gente. Supón que ya llevas 100 giros sin acierto. La probabilidad de pasar otros 100 sin ninguno es
0.99200 ÷ 0.99100 = 0.99100 = 36.6%
que es la misma cifra que para un inicio desde cero. Los 100 giros sin acierto se cancelan en el cálculo. Esto es la falta de memoria, y se cumple para cualquier longitud de sequía: el número esperado de giros que aún quedan por esperar es 100 tras 10 giros sin acierto, tras 100 y tras 1,000. Una larga sequía no te da ningún crédito, y tampoco te cuesta ninguno.
La espera esperada para una función de 1 entre 100 es de 100 giros desde ahora, cada vez que lo preguntes. Nunca es 100 menos los giros ya jugados.
Las rachas parecen raras y son normales
Una sequía de 100 giros parece una prueba de que algo ha cambiado. Compáralo con su imagen especular: una moneda justa lanzada 100 veces contendrá, más a menudo que no, una racha de seis o más caras o cruces. Las rachas son lo que produce la independencia. Los aciertos igualmente espaciados serían el resultado sorprendente, porque significaría que cada giro de algún modo sabe cuál fue el anterior.
Lo que sí dice la ley de los grandes números
A veces se responde que las cosas deben compensarse a largo plazo. Así es, en proporción, pero no por corrección. Tras 1,000 giros se esperan 10 aciertos. Si los primeros 100 giros no dieron ninguno, se espera que los 900 restantes den 9, así que el total esperado es 9 y no 10. El déficit no se recupera; simplemente queda diluido a medida que crece el número de giros. Una diferencia de un acierto sobre 10 es un 10% tras 1,000 giros y una fracción de un punto porcentual tras un millón.
Compruébalo tú mismo
- Usa una calculadora. Introduce 0.99 y elévalo a la potencia 100. Deberías obtener 0.366.
- Cambia las probabilidades. Para una función de 1 entre 50, la misma operación da 0.9850 = 36.4%. La espera media es el número de las probabilidades, y la probabilidad de fallar durante ese tiempo es siempre de alrededor del 37%. Ese 37% es 1 ÷ e del cálculo de límites, y se aproxima a ese valor a medida que las probabilidades se alargan.
La bonificación Yarn Pick de Brasslight Slots: Casino Games se activa cuando caen tres ovillos de lana, y el ejemplo de 1 entre 100 de arriba es puramente hipotético: esta entrada no afirma con qué frecuencia aparece nada en el juego. Lo que se traslada es el método. Sea cual sea la frecuencia real de una función, un tramo sin ella no aumenta la probabilidad de que salga en el giro siguiente.
Para saber cómo se cuentan los símbolos de un solo giro, consulta cómo un comodín cambia el recuento en una tragaperras de formas de ganar.
Brasslight Slots: Casino Games es una tragaperras de 5 carretes con temática de gatos, con 243 formas de ganar, una bonificación Yarn Pick, una rueda de premios diarios y los giros Turbo y Auto. Usa solo monedas virtuales, no hay dinero real, y las monedas y gemas no tienen valor en efectivo.