Après une longue série sans bonus, on a naturellement le sentiment qu'il doit être proche. Ce sentiment a un nom, le sophisme du joueur, et il est faux pour une raison simple : un tour aléatoire ne sait pas ce que les tours précédents ont donné. Cet article examine les chiffres à l'aide d'une fonction fictive qui apparaît 1 tour sur 100. Ce chiffre est une illustration, pas un taux tiré d'un jeu particulier, et tous les calculs peuvent être vérifiés avec une calculatrice.
Ce que signifie indépendant
Deux événements sont indépendants lorsque connaître le résultat de l'un ne vous apprend rien sur l'autre. Chaque tour d'une machine aléatoire tire un résultat neuf, donc la chance de la fonction au tour 501 est de 1 sur 100, que les 500 tours précédents l'aient produite cinq fois, une fois ou jamais.
Le même principe vaut pour la grille elle-même. Une machine à gains par voies, comme la grille à 243 voies décrite dans ce que signifient les 243 façons de gagner, affiche un nouvel ensemble de symboles à chaque tour. Le nombre de voies gagnantes d'un tour ne se reporte pas sur le suivant.
La croyance qu'une fonction est « due » suppose un compteur quelque part qui se remplit puis paie. Si les résultats sont aléatoires et indépendants, il n'existe pas de compteur de ce type. Une pièce tombée neuf fois sur face a toujours 50% de chances de tomber sur face au dixième lancer.
La probabilité d'une disette
Si une fonction a 1 chance sur 100 par tour, la chance de la manquer à un tour est de 99/100 = 0.99. Les tours étant indépendants, les chances de la manquer plusieurs fois de suite se multiplient :
P(aucun succès en n tours) = 0.99n
Pour n = 100, cela donne 0.99100 = 36.6%. Beaucoup pensent qu'une fonction à 1 sur 100 apparaîtra dans les 100 tours. Elle n'apparaît que 63.4% du temps, et elle est manquée plus d'un tiers du temps. Cent tours est l'attente moyenne, pas une garantie.
| Tours | Chance d'au moins un succès | Chance d'aucun succès |
|---|---|---|
| 50 | 39.5% | 60.5% |
| 69 | 50.0% | 50.0% |
| 100 | 63.4% | 36.6% |
| 200 | 86.6% | 13.4% |
| 300 | 95.1% | 4.9% |
Deux points ressortent. Le point d'équilibre à une chance sur deux est de 69 tours, et non 100 : 0.9969 est un peu moins de la moitié, donc plus d'une fois sur deux le premier succès est arrivé avant le tour 69. Et une disette de 200 tours n'est pas rare : elle survient environ une fois sur sept et demie, et une de 300 tours environ une fois sur 20.
Le temps d'attente n'a pas de mémoire
Le nombre de tours avant le premier succès suit ce que les statisticiens appellent une loi géométrique. Sa moyenne est 1 ÷ p, soit ici 1 ÷ 0.01 = 100 tours. Sa dispersion est large : l'écart type vaut √(1 − p) ÷ p, soit environ 99.5 tours, presque la même taille que la moyenne. C'est pourquoi des attentes de 20 tours comme de 300 tours surviennent dans un jeu ordinaire.
La forme a une propriété qui surprend. Supposons que vous ayez déjà fait 100 tours sans succès. La chance d'en faire 100 de plus sans succès est
0.99200 ÷ 0.99100 = 0.99100 = 36.6%
qui est le même chiffre que pour un départ à zéro. Les 100 tours secs disparaissent du calcul. C'est l'absence de mémoire, et elle vaut pour toute durée de disette : le nombre attendu de tours restant à attendre est de 100 après 10 tours secs, après 100, et après 1,000. Une longue disette ne vous donne aucun crédit, et ne vous en retire aucun.
Le temps d'attente d'une fonction à 1 sur 100 est de 100 tours à partir de maintenant, chaque fois que vous le demandez. Jamais 100 moins les tours joués.
Les séries paraissent étranges mais sont normales
Une disette de 100 tours donne l'impression que quelque chose a changé. Comparez avec son image miroir : une pièce équilibrée lancée 100 fois contiendra, le plus souvent, une suite de six faces ou piles ou plus. Les séries sont ce que produit l'indépendance. Des succès régulièrement espacés seraient le résultat surprenant, car ils signifieraient que chaque tour connaît le précédent.
Ce que dit vraiment la loi des grands nombres
On répond parfois que les choses finissent par s'équilibrer à long terme. C'est le cas, en proportion, mais pas par correction. Après 1,000 tours, vous attendez 10 succès. Si les 100 premiers n'en ont donné aucun, les 900 restants devraient encore en donner 9, donc le total attendu est de 9 plutôt que 10. Le déficit n'est pas rattrapé ; il est simplement noyé à mesure que le nombre de tours augmente. Un écart d'un succès sur 10 représente 10% après 1,000 tours, et une fraction de pour cent après un million.
Le vérifier vous-même
- Utilisez une calculatrice. Entrez 0.99 et élevez-le à la puissance 100. Vous devriez obtenir 0.366.
- Changez les probabilités. Pour une fonction à 1 sur 50, la même somme donne 0.9850 = 36.4%. L'attente moyenne est le nombre au dénominateur, et la chance de le manquer pendant cette durée est toujours d'environ 37%. Ce 37% est 1 ÷ e tiré du calcul des limites, et il s'en approche à mesure que les probabilités s'allongent.
Le bonus Yarn Pick dans Brasslight Slots: Casino Games s'active lorsque trois pelotes de laine tombent, et l'exemple à 1 sur 100 ci-dessus est purement hypothétique : cet article n'affirme rien sur la fréquence de quoi que ce soit dans le jeu. Ce qui se transpose, c'est la méthode. Quelle que soit la fréquence réelle d'une fonction, une période sans elle n'augmente pas la chance qu'elle arrive au tour suivant.
Pour savoir comment les symboles d'un tour unique sont comptés, voir comment un joker modifie le compte sur une machine à voies gagnantes.
Brasslight Slots: Casino Games est une machine à 5 rouleaux sur le thème des chats, avec 243 voies gagnantes, un bonus Yarn Pick, une roue de prix quotidienne et les tours Turbo et Auto. Elle n'utilise que des pièces virtuelles, sans argent réel, et les pièces et gemmes n'ont aucune valeur monétaire.