Wie selten jede Fünf-Karten-Pokerhand ist

Zweiundfünfzig Karten, jeweils fünf, Reihenfolge ignoriert: Das ist 52 × 51 × 50 × 49 × 48 geteilt durch 5 × 4 × 3 × 2 × 1, was ergibt 2,598,960 mögliche Hände. Bei einem fairen Mischen ist jede gleich wahrscheinlich, daher ist die Chance einer Kategorie einfach die Zahl der Hände darin, geteilt durch diese Gesamtzahl. Eine Simulation ist nicht nötig. Jede Zählung unten ist exakt, und jede lässt sich mit Bleistift nachprüfen.

Die vollständige Tabelle

Dies sind die Standardwerte für fünf Karten aus einem einzelnen 52-Karten-Deck ohne Tausch und ohne Wildcards. Der Royal Flush wird separat von den übrigen Straight Flushes aufgeführt, wie üblich.

Die zehn Zeilen ergeben genau 2,598,960, und jede Kategorie ist seltener als die darunterliegende. Die Rangfolge ist die Reihenfolge der Seltenheit.

Die Zählungen unten sind übliche Fünf-Karten-Mathematik. Poker vs Dealer verwendet eigene Showdown-Regeln, und der Bildschirm mit den Spielregeln und Auszahlungen im Spiel ist der Ort, an dem Sie nachsehen, wie Hände dort gereiht werden.

Woher jede Zählung stammt

Jede Zeile ist eine kurze Zählübung. Wählen Sie zuerst die Ränge, dann die Farben.

1. Straight Flush (40, einschließlich der 4 Royals). Ein Straight kann bei zehn Rängen beginnen, vom Ass-tief (A-2-3-4-5) bis zum Ass-hoch (10-J-Q-K-A), in jeder von vier Farben: 10 × 4 = 40.
2. Vierling (624). Dreizehn Ränge für die Vier und 48 verbleibende Karten für die fünfte: 13 × 48.
3. Full House (3,744). Dreizehn Ränge für den Drilling mit 4 Möglichkeiten, drei Farben zu wählen, dann 12 Ränge für das Paar mit 6 Möglichkeiten, zwei Farben zu wählen: 13 × 4 × 12 × 6.
4. Flush (5,108). Es gibt 1,287 Möglichkeiten, aus dreizehn fünf verschiedene Ränge zu wählen. Zehn davon sind Straights, es bleiben 1,277, in jeder von vier Farben: 1,277 × 4.
5. Straight (10,200). Zehn Rangmuster, und jede der fünf Karten kann eine von vier Farben haben, was 1,024 Farbmuster ergibt. Ziehen Sie die 4 ab, bei denen alle fünf Farben gleich sind, denn das sind Straight Flushes: 10 × 1,020.
6. Drilling (54,912). Dreizehn Ränge für den Drilling, 4 Farbwahlen, dann zwei verschiedene andere Ränge aus den übrigen zwölf (66 Möglichkeiten), jeweils in beliebiger Farbe (16 Möglichkeiten): 13 × 4 × 66 × 16.
7. Zwei Paare (123,552). Zwei Ränge für die Paare (78 Möglichkeiten), 6 Farbwahlen für jedes Paar und 44 Karten für die fünfte, die zu keinem der beiden Ränge passen: 78 × 36 × 44.
8. Ein Paar (1,098,240). Dreizehn Ränge, 6 Farbwahlen, dann drei verschiedene Ränge aus zwölf (220 Möglichkeiten), jeweils in einer von 4 Farben: 13 × 6 × 220 × 64.
9. Höchste Karte (1,302,540). Dieselben 1,277 Nicht-Straight-Rangmuster wie beim Flush, jeweils mit den 1,020 Farbmustern, die nicht alle eine Farbe haben: 1,277 × 1,020.

Drei Aussagen der Tabelle

Ein Flush ist etwa halb so häufig wie ein Straight. Es gibt 5,108 Flushes und 10,200 Straights, ein Verhältnis von knapp zwei zu eins. Ein Straight braucht nur passende Ränge, und jedes der 1,020 Farbmuster genügt. Ein Flush braucht fünf gleiche Farben, und das sind nur 4 der 1,024 möglichen Farbmuster.

Zwei Paare sind mehr als doppelt so häufig wie Drillinge. Das Verhältnis ist 2.25 zu eins. Drei Karten desselben Rangs sind schwerer zu sammeln als zwei getrennte Paare, deshalb rangieren Drillinge höher.

Die Hälfte aller Hände hat überhaupt kein Paar. Höchste Karte macht 50.12% der Austeilungen aus, und ein Paar weitere 42.26%. Zusammen machen sie 92.4% von allem aus, was Ihnen je ausgeteilt wird. Zwei Paare oder besser kommen bei etwa 7.6% der Hände vor, und alles ab einem Straight aufwärts bei etwa 0.76%: ungefähr eine Austeilung von 132.

Der Statistikbildschirm in Poker vs Dealer erfasst Handkategorien zusammen mit gespielten Händen und Gewinnquote, sodass Sie Ihre eigenen Ergebnisse mit diesen Häufigkeiten vergleichen können.

Innerhalb der Zeile „Höchste Karte“

Höchste Karte ist das häufigste Ergebnis, daher wird sie hier nach der höchsten Karte sortiert.

Ass-hoch allein kommt in fast einer von fünf Austeilungen vor, häufiger als alle Hände von zwei Paaren aufwärts zusammen. Am anderen Ende ist Sieben-hoch die schlechteste Hand überhaupt, und sie kommt nur in vier Rangmustern vor: 7-6-5-4-2, 7-6-5-3-2, 7-6-4-3-2 und 7-5-4-3-2. Nichts Niedrigeres ist möglich. Die einzigen fünf verschiedenen Ränge, die nicht höher als Sechs sind, bilden 2-3-4-5-6, und das ist ein Straight; fügt man ein Ass hinzu, wird das Ass zur höchsten Karte.

Kategorien gegenüber Handwerten

Sobald Ränge innerhalb jeder Kategorie zählen (ein Paar Achten gegen ein Paar Neunen oder welche Kicker daneben liegen), schrumpfen die 2,598,960 Hände auf 7,462 verschiedene Werte. Farben entscheiden nach Standardregeln nie einen Gleichstand, weshalb diese Zahl so viel kleiner ist. Jeder Wert gehört genau zu einer Zeile der ersten Tabelle, daher schlägt eine Hand aus einer höheren Zeile jede Hand aus einer niedrigeren.

All das ist die Mathematik von fünf Karten, die einmal aus einem vollen Deck ausgeteilt werden. Karten tauschen oder eine Hand Karte für Karte aufbauen verändert die Chancen, mit jeder Hand zu enden, aber nicht diese Grundzahlen.