La rareté de chaque main de poker à cinq cartes

Cinquante-deux cartes, cinq à la fois, ordre ignoré : cela fait 52 × 51 × 50 × 49 × 48 divisé par 5 × 4 × 3 × 2 × 1, ce qui donne 2,598,960 mains possibles. Chacune est aussi probable sur un mélange équitable, donc la probabilité d'une catégorie est simplement le nombre de mains qu'elle contient divisé par ce total. Aucune simulation n'est nécessaire. Chaque compte ci-dessous est exact et peut être vérifié au crayon.

Le tableau complet

Ce sont les chiffres standard pour cinq cartes distribuées depuis un seul jeu de 52 cartes, sans tirage ni jokers. La quinte flush royale est présentée à part des autres quintes flush, comme c'est généralement le cas.

Les dix lignes totalisent exactement 2,598,960, et chaque catégorie est plus rare que celle située en dessous. Le classement suit l'ordre de rareté.

Les dénombrements ci-dessous sont les calculs standard pour cinq cartes. Poker vs Dealer utilise ses propres règles Showdown, et son écran des règles et des gains du jeu permet de vérifier le classement des mains.

D'où vient chaque compte

Chaque ligne est un court calcul de dénombrement. Choisissez les valeurs, puis choisissez les couleurs.

1. Quinte flush (40, dont les 4 royales). Une quinte peut commencer à l'une des dix valeurs, de l'as bas (A-2-3-4-5) jusqu'à l'as haut (10-V-D-R-A), dans l'une des quatre couleurs : 10 × 4 = 40.
2. Carré (624). Treize valeurs pour le carré, et 48 cartes restantes pour la cinquième : 13 × 48.
3. Full (3,744). Treize valeurs pour le brelan, avec 4 façons de choisir trois couleurs, puis 12 valeurs pour la paire, avec 6 façons de choisir deux couleurs : 13 × 4 × 12 × 6.
4. Couleur (5,108). Il existe 1,287 façons de choisir cinq valeurs différentes parmi treize. Dix d'entre elles sont des quintes, il en reste 1,277, dans chacune des quatre couleurs : 1,277 × 4.
5. Quinte (10,200). Dix schémas de valeurs, et chacune des cinq cartes peut être de l'une des quatre couleurs, soit 1,024 schémas de couleurs. On retire les 4 où les cinq couleurs sont identiques, car ce sont des quintes flush : 10 × 1,020.
6. Brelan (54,912). Treize valeurs pour le brelan, 4 choix de couleur, puis deux autres valeurs différentes parmi les douze restantes (66 façons), chacune dans n'importe quelle couleur (16 façons) : 13 × 4 × 66 × 16.
7. Deux paires (123,552). Deux valeurs pour les paires (78 façons), 6 choix de couleur pour chaque paire, et 44 cartes pour la cinquième, qui ne correspond à aucune des deux : 78 × 36 × 44.
8. Une paire (1,098,240). Treize valeurs, 6 choix de couleur, puis trois valeurs différentes parmi douze (220 façons), chacune dans l'une des 4 couleurs : 13 × 6 × 220 × 64.
9. Carte haute (1,302,540). Les mêmes 1,277 schémas de valeurs sans suite que pour la couleur, chacun avec les 1,020 schémas de couleurs qui ne sont pas tous identiques : 1,277 × 1,020.

Trois enseignements du tableau

Une couleur est environ deux fois moins fréquente qu'une quinte. Il y a 5,108 couleurs et 10,200 quintes, soit un rapport de presque deux pour un. Une quinte exige seulement que ses valeurs s'alignent, et l'un quelconque des 1,020 schémas de couleurs convient. Une couleur exige que les cinq cartes soient de la même couleur, ce qui ne représente que 4 des 1,024 schémas de couleurs possibles.

Deux paires sont plus de deux fois plus fréquentes qu'un brelan. Le rapport est de 2.25 pour un. Trois cartes de même valeur sont plus difficiles à réunir que deux paires distinctes, c'est pourquoi le brelan est classé plus haut.

La moitié de toutes les mains ne comporte aucune paire. La carte haute représente 50.12% des donnes, et une paire 42.26%. Ensemble, elles forment 92.4% de tout ce que vous recevrez jamais. Deux paires ou mieux arrivent sur environ 7.6% des mains, et une quinte ou plus sur environ 0.76% : à peu près une donne sur 132.

L'écran des statistiques dans Poker vs Dealer suit les catégories de mains en même temps que le nombre de mains jouées et le taux de victoire, afin que vous puissiez comparer vos propres résultats à ces fréquences.

Dans la ligne carte haute

La carte haute est le résultat le plus courant ; la voici donc classée par carte la plus haute.

À elle seule, l'as haut représente près d'une donne sur cinq, davantage que toutes les mains de deux paires ou mieux réunies. À l'autre extrémité, le sept haut est la pire main qui soit, et il n'existe que quatre schémas de valeurs : 7-6-5-4-2, 7-6-5-3-2, 7-6-4-3-2 et 7-5-4-3-2. Rien de plus bas n'est possible. Les seules cinq valeurs différentes ne dépassant pas six sont 2-3-4-5-6, qui forment une quinte ; ajouter un as fait de l'as la carte haute.

Catégories et valeurs de main

Une fois que les valeurs à l'intérieur de chaque catégorie comptent (une paire de huit contre une paire de neuf, ou les cartes d'appoint qui les accompagnent), les 2,598,960 mains se réduisent à 7,462 valeurs distinctes. Dans les règles standard, les couleurs ne départagent jamais une égalité, ce qui explique que ce nombre soit beaucoup plus petit. Chaque valeur appartient à une seule ligne du premier tableau, si bien qu'une main d'une ligne supérieure bat toute main d'une ligne inférieure.

Tout cela relève du calcul de cinq cartes distribuées une seule fois depuis un jeu complet. Échanger des cartes ou construire une main carte par carte modifie les chances de finir avec chaque main, mais pas ces dénombrements de base.