Насколько редка каждая пятикарточная комбинация

Пятьдесят две карты по пять за раз, порядок не важен: это 52 × 51 × 50 × 49 × 48, делённое на 5 × 4 × 3 × 2 × 1, что даёт 2,598,960 возможных комбинаций. При честной перетасовке каждая равновероятна, поэтому шанс любой категории — это просто число комбинаций в ней, делённое на этот итог. Моделирование не нужно. Каждое число ниже точное, и любое можно проверить карандашом.

Полная таблица

Это стандартные цифры для пяти карт, сданных из одной колоды на 52 карты без обмена и без джокеров. Роял-флеш показан отдельно от остальных стрит-флешей, как обычно.

Десять строк в сумме дают ровно 2,598,960, и каждая категория реже той, что стоит под ней. Рейтинг — это порядок редкости.

Подсчёты ниже — стандартная математика для пяти карт. Poker vs Dealer использует собственные правила Showdown, и ранжирование комбинаций там можно проверить на экране правил и выплат в игре.

Откуда берётся каждое число

Каждая строка — короткий подсчёт. Сначала выбираем ранги, затем масти.

1. Стрит-флеш (40, включая 4 роял-флеша). Стрит может начинаться с любого из десяти рангов: от стрита с тузом внизу (Т-2-3-4-5) до стрита с тузом наверху (10-В-Д-К-Т), в любой из четырёх мастей: 10 × 4 = 40.
2. Каре (624). Тринадцать рангов для каре и 48 оставшихся карт для пятой: 13 × 48.
3. Фулл-хаус (3,744). Тринадцать рангов для тройки с 4 способами выбрать три масти, затем 12 рангов для пары с 6 способами выбрать две масти: 13 × 4 × 12 × 6.
4. Флеш (5,108). Есть 1,287 способов выбрать пять разных рангов из тринадцати. Десять из них — стриты, остаётся 1,277; по каждой из четырёх мастей: 1,277 × 4.
5. Стрит (10,200). Десять ранговых шаблонов, и каждая из пяти карт может быть любой из четырёх мастей, что даёт 1,024 шаблона мастей. Вычитаем 4 случая, когда все пять карт одной масти, потому что это стрит-флеши: 10 × 1,020.
6. Тройка (54,912). Тринадцать рангов для тройки, 4 варианта масти, затем два разных других ранга из оставшихся двенадцати (66 способов), каждый любой масти (16 способов): 13 × 4 × 66 × 16.
7. Две пары (123,552). Два ранга для пар (78 способов), по 6 вариантов масти на каждую пару и 44 карты для пятой, которая не совпадает ни с одним из этих рангов: 78 × 36 × 44.
8. Одна пара (1,098,240). Тринадцать рангов, 6 вариантов масти, затем три разных ранга из двенадцати (220 способов), каждый любой из 4 мастей: 13 × 6 × 220 × 64.
9. Старшая карта (1,302,540). Те же 1,277 ранговых шаблонов, что и у флеша, без стрита, с 1,020 шаблонами мастей, в которых не все карты одной масти: 1,277 × 1,020.

Три вывода из таблицы

Флеш встречается примерно вдвое реже стрита. Флешей 5,108, а стритов 10,200, соотношение почти два к одному. Стриту нужно лишь, чтобы ранги выстроились по порядку, и подойдёт любой из 1,020 шаблонов мастей. Флешу нужно, чтобы все пять карт были одной масти, а это лишь 4 из 1,024 возможных шаблонов мастей.

Две пары встречаются более чем вдвое чаще тройки. Соотношение 2.25 к одному. Собрать три карты одного ранга труднее, чем две отдельные пары, поэтому тройка стоит выше.

Половина всех комбинаций — вообще без пар. Старшая карта — 50.12% раздач, одна пара — ещё 42.26%. Вместе они составляют 92.4% всего, что вам когда-либо сдадут. Две пары или сильнее выпадают примерно в 7.6% комбинаций, а от стрита и выше — примерно в 0.76%: около одной раздачи из 132.

На экране «Статистика» в Poker vs Dealer ведётся учёт категорий комбинаций вместе с числом сыгранных раздач и долей выигрышей, так что вы можете сравнить свои результаты с этими частотами.

Внутри строки «Старшая карта»

Старшая карта — самый частый результат, поэтому здесь она разбита по старшей карте.

Старшая карта-туз в одиночку — почти одна раздача из пяти, что чаще, чем все комбинации от двух пар и выше, вместе взятые. С другого конца, семёрка старшая — худшая из возможных комбинаций, и она встречается только в четырёх ранговых шаблонах: 7-6-5-4-2, 7-6-5-3-2, 7-6-4-3-2 и 7-5-4-3-2. Ниже не бывает. Единственные пять разных рангов не выше шестёрки — это 2-3-4-5-6, и это уже стрит; если добавить туза, туз становится старшей картой.

Категории и значения комбинаций

Если учитывать ранги внутри каждой категории (пара восьмёрок против пары девяток или какие кикеры стоят рядом с ними), 2,598,960 комбинаций сворачиваются в 7,462 различных значений. По стандартным правилам масти никогда не решают ничью, поэтому это число гораздо меньше. Каждое значение относится ровно к одной строке первой таблицы, так что комбинация из более высокой строки бьёт любую из более низкой.

Всё это — математика пяти карт, сданных один раз из полной колоды. Обмен карт или сбор руки по одной карте меняет шансы закончить с той или иной комбинацией, но не эти базовые подсчёты.