Quão rara é cada mão de pôquer de cinco cartas

Cinquenta e duas cartas, cinco por vez, sem considerar a ordem: isso é 52 × 51 × 50 × 49 × 48 dividido por 5 × 4 × 3 × 2 × 1, o que dá 2,598,960 mãos possíveis. Cada uma tem a mesma probabilidade em um embaralhamento justo, então a chance de qualquer categoria é apenas o número de mãos nela dividido por esse total. Não é preciso simulação. Cada contagem abaixo é exata, e todas podem ser conferidas com lápis e papel.

A tabela completa

Estes são os números padrão para cinco cartas distribuídas de um único baralho de 52 cartas, sem troca e sem curingas. O royal flush aparece separado dos demais straight flushes, como é usual.

As dez linhas somam exatamente 2,598,960, e cada categoria é mais rara que a de baixo. A classificação é a ordem de raridade.

As contagens abaixo são a matemática padrão de cinco cartas. Poker vs Dealer usa suas próprias regras de Showdown, e a tela de regras e pagamentos do jogo é onde conferir como as mãos são ranqueadas ali.

De onde vem cada contagem

Cada linha é uma pequena contagem. Escolha os valores e depois escolha os naipes.

1. Straight flush (40, incluindo os 4 royals). Uma sequência pode começar em qualquer um dos dez valores, do ás baixo (A-2-3-4-5) até o ás alto (10-J-Q-K-A), em qualquer um dos quatro naipes: 10 × 4 = 40.
2. Quadra (624). Treze valores para o quarteto, e 48 cartas restantes para a quinta: 13 × 48.
3. Full house (3,744). Treze valores para a trinca, com 4 formas de escolher três naipes, depois 12 valores para o par, com 6 formas de escolher dois naipes: 13 × 4 × 12 × 6.
4. Flush (5,108). Há 1,287 formas de escolher cinco valores diferentes entre treze. Dez delas são sequências, restando 1,277, em cada um dos quatro naipes: 1,277 × 4.
5. Sequência (10,200). Dez padrões de valores, e cada uma das cinco cartas pode ser de qualquer um dos quatro naipes, resultando em 1,024 padrões de naipes. Retire os 4 em que todos os cinco naipes são iguais, pois são straight flushes: 10 × 1,020.
6. Trinca (54,912). Treze valores para a trinca, 4 escolhas de naipe, depois dois outros valores diferentes entre os doze restantes (66 formas), cada um em qualquer naipe (16 formas): 13 × 4 × 66 × 16.
7. Dois pares (123,552). Dois valores para os pares (78 formas), 6 escolhas de naipe para cada par, e 44 cartas para a quinta que não combinam com nenhum dos dois: 78 × 36 × 44.
8. Um par (1,098,240). Treze valores, 6 escolhas de naipe, depois três valores diferentes entre doze (220 formas), cada um em qualquer um dos 4 naipes: 13 × 6 × 220 × 64.
9. Carta alta (1,302,540). Os mesmos 1,277 padrões de valores sem sequência do flush, cada um com os 1,020 padrões de naipes que não são todos do mesmo naipe: 1,277 × 1,020.

Três coisas que a tabela mostra

Um flush é cerca de metade tão comum quanto uma sequência. Há 5,108 flushes e 10,200 sequências, uma razão de quase dois para um. Uma sequência só precisa que seus valores se alinhem, e qualquer um dos 1,020 padrões de naipes serve. Um flush precisa que os cinco naipes sejam iguais, o que corresponde a apenas 4 dos 1,024 padrões de naipes possíveis.

Dois pares são mais do que duas vezes mais comuns do que uma trinca. A razão é de 2.25 para um. Três cartas do mesmo valor são mais difíceis de reunir do que dois pares separados, por isso as trincas ficam acima.

Metade de todas as mãos não tem nenhum par. Carta alta é 50.12% das distribuições, e um par, outros 42.26%. Juntos somam 92.4% de tudo o que você vai receber. Dois pares ou mais aparecem em cerca de 7.6% das mãos, e sequência ou mais em cerca de 0.76%: aproximadamente uma distribuição em 132.

A tela de registro em Poker vs Dealer acompanha as categorias de mãos junto com as mãos jogadas e a taxa de vitória, para que você compare seus próprios resultados com essas frequências.

Dentro da linha de carta alta

Carta alta é o resultado mais comum, então aqui ela está ordenada pela carta mais alta.

Só o ás alto é quase uma distribuição em cinco, mais comum do que todas as mãos de dois pares para cima somadas. No outro extremo, sete alto é a pior mão que existe, e aparece em apenas quatro padrões de valores: 7-6-5-4-2, 7-6-5-3-2, 7-6-4-3-2 e 7-5-4-3-2. Nada abaixo disso é possível. Os únicos cinco valores diferentes não maiores que seis são 2-3-4-5-6, que é uma sequência, e acrescentar um ás faz do ás a carta alta.

Categorias versus valores das mãos

Quando os valores dentro de cada categoria contam (um par de oitos contra um par de noves, ou quais kickers ficam ao lado), as 2,598,960 mãos se reduzem a 7,462 valores distintos. Em regras padrão, os naipes nunca desempatam, e por isso esse número é bem menor. Cada valor pertence a exatamente uma linha da primeira tabela, então uma mão de uma linha superior vence qualquer mão de uma linha inferior.

Tudo isso é a matemática de cinco cartas distribuídas uma vez de um baralho completo. Trocar cartas ou montar uma mão uma carta de cada vez muda as chances de terminar com cada mão, mas não essas contagens básicas.