Rodas cônicas: como um trem se guia sozinho numa curva

Um trem não tem direção. Nada na cabine vira as rodas, e ainda assim um trem segue uma curva suavemente, milha após milha. A razão é o formato da roda, e a geometria cabe em poucas linhas de álgebra.

O problema: um eixo, dois caminhos

Num conjunto de rodas ferroviário, as duas rodas são prensadas num único eixo maciço, então giram juntas à mesma velocidade. Em linha reta isso funciona bem. Numa curva é um problema, porque o trilho externo é mais longo que o interno. Se as duas rodas tivessem o mesmo diâmetro, uma teria de derrapar.

Veículos rodoviários usam um diferencial. Um conjunto de rodas ferroviário não tem nenhum, e obtém o mesmo efeito pela própria superfície de rolamento.

A conicidade

A superfície de rolamento de uma roda ferroviária não é um cilindro plano. É um cone raso, com diâmetro maior do lado mais próximo do friso. Uma conicidade de 1 para 20 é um valor bem conhecido, embora os perfis reais variem e se desgastem em outras formas. Uma inclinação de 1 para 20 é 0.05, então o raio da roda muda 5 mm para cada 100 mm que você se desloca pela superfície.

Agora imagine o conjunto de rodas deslizando lateralmente ao longo da linha do eixo em direção ao trilho externo. A roda externa encontra o trilho numa parte do cone com raio maior, e a roda interna o encontra numa parte de raio menor. A roda externa percorre mais distância a cada volta, e o conjunto de rodas se direciona sozinho.

A dedução

Use estes símbolos:

• R é o raio da curva, medido até o centro da via.
• G é a distância entre os dois pontos de contato nos trilhos. Para a bitola padrão, isso é cerca de 1.5 m, um pouco mais que a bitola de 1,435 mm, já que as rodas tocam perto do meio da cabeça do trilho. (Veja por que a bitola padrão é de 1,435 mm.)
• r₀ é o raio de rolamento da roda quando ela está centralizada na via.
• A conicidade é 0.05, escrita como t.
• y é o deslocamento lateral do conjunto de rodas em direção ao trilho externo.

Passo 1: o que a via exige. O trilho externo segue um círculo de raio R + G/2, e o interno, R − G/2. Em uma pequena volta de ângulo θ, a roda externa precisa percorrer (R + G/2)θ, e a interna (R − G/2)θ. A diferença é Gθ. Como fração da distância Rθ que o conjunto percorre, isso é G/R.

Passo 2: o que as rodas oferecem. As duas rodas giram pelo mesmo ângulo, então a distância que cada uma percorre é proporcional ao seu raio de rolamento. Depois de um deslocamento y, a roda externa rola sobre r₀ + ty, e a interna sobre r₀ − ty. A diferença de raio é 2ty, e a diferença fracionária é 2ty / r₀.

Passo 3: igualar. As rodas dão exatamente o que a via exige quando

2ty / r₀ = G / R, então y = r₀G / (2tR)

Isso é o mesmo que r₀ × (G/2) / (R × t), se você preferir a metade da largura da via. A aproximação é que a razão exata entre os raios dos trilhos, (R + G/2)/(R − G/2), é tomada como 1 + G/R, o que é preciso nesses raios.

Um exemplo resolvido

Tome R = 500 m, r₀ = 0.46 m (uma roda de cerca de 920 mm de diâmetro), G = 1.5 m e t = 0.05:

y = (0.46 × 1.5) / (2 × 0.05 × 500) = 0.69 / 50 = 0.0138 m, que é 13.8 mm

Confira. Os raios ficam 0.46 + 0.05 × 0.0138 = 0.46069 m por fora e 0.45931 m por dentro. A diferença é 1.38 mm, que dividido por 0.46 dá 0.0030. A via exige G/R = 1.5 / 500 = 0.0030. Em 100 m de curva, a roda externa percorre 0.3 m a mais que a interna, e a superfície cônica fornece exatamente essa diferença.

Uma conicidade menor exige um deslocamento maior, porque se ganha menos diferença de raio por milímetro.

Quando a conicidade acaba: os frisos

O conjunto de rodas não pode deslizar muito. Há apenas uma pequena folga entre o friso e o trilho, e a folga lateral livre costuma ser citada como da ordem de alguns milímetros até cerca de um centímetro para cada lado. Isso varia conforme a ferrovia e o desgaste, então trate 7 mm como uma suposição. Assim, y chega a 7 mm quando R = 0.69 / (0.1 × 0.007), cerca de 986 m. Qualquer curva mais fechada que isso empurra o friso contra o trilho.

Ali o friso é o apoio. Ele leva a força lateral extra, e a roda e o trilho se desgastam e rangem. Os 13.8 mm necessários a 500 m excedem a folga suposta, então essa curva envolveria contato com o friso. A conicidade direciona nas curvas suaves; o friso assume as curvas fechadas.

Serpenteio

A conicidade tem um efeito colateral. Pegue um conjunto de rodas em linha reta, deslocado lateralmente. Os cones o empurram de volta ao centro, ele ultrapassa e assim oscila de um lado para o outro. Isso se chama serpenteio, e a fórmula de Klingel fornece o comprimento de onda do serpenteio como 2π × √(r₀e / t), onde e é metade da distância de contato, 0.75 m. Com os nossos números, isso é 2π × √(0.46 × 0.75 / 0.05) = 2π × √6.9, cerca de 16.5 m.

O comprimento de onda não depende da velocidade, então a 100 km/h (27.8 m/s) o conjunto oscila 27.8 / 16.5 ≈ 1.7 vez por segundo. Veículos reais têm suspensão e amortecimento para impedir que a oscilação cresça. Uma conicidade mais acentuada direciona melhor, mas causa mais serpenteio, então a conicidade é um compromisso.

O que levar disso

• O deslocamento necessário é y = r₀G / (2tR). Ele cai pela metade sempre que o raio dobra.
• Com R = 500 m e conicidade de 1 para 20, y = 13.8 mm.
• Os frisos assumem quando o deslocamento excede a folga. O serpenteio é o preço da conicidade.