Túnel ou corte: como uma ferrovia atravessa uma colina

Quando uma ferrovia encontra uma colina íngreme demais para subir, o engenheiro tem duas formas de seguir em frente: escavar a colina a partir do topo, ou atravessá-la por dentro. Ambas mantêm a inclinação suave. Elas diferem em como a quantidade de escavação cresce, e essa diferença define a maioria das escolhas em uma rota real.

Corte: a profundidade é elevada ao quadrado

Um corte não pode ter paredes verticais, porque o solo solto deslizaria para a via. As laterais são recuadas em talude. Considere uma forma simples e presumida: um piso plano 8 m de largura para a via, e taludes laterais de 2 m de largura para cada 1 m de altura. For a cutting of depth d a seção transversal é um retângulo mais dois triângulos:

Área = 8d + 2d² metros quadrados.

O primeiro termo cresce em proporção à profundidade. O segundo cresce com o seu quadrado, e passa a dominar à medida que o corte se aprofunda. Cada metro de comprimento multiplica essa área por um metro, então a área também é o volume de terra a remover por metro de linha.

Ir de 10 m para 20 m de profundidade não dobra o trabalho. Ele o multiplica por 960 / 280, cerca de 3.4. Um corte que era barato a 5 m torna-se um projeto grande a 20 m, e ainda tira uma faixa de 88 m de largura da encosta.

Túnel: só o comprimento conta

A seção transversal de um túnel é definida pelos trens que ele deve levar, não por quanta colina há acima. Suponha um tubo de via dupla de 60 m² escavados. Então cada metro de túnel são 60 m³, quer a colina acima tenha 5 m ou 100 m de espessura. Um túnel de 100 m é 6,000 m³, e um de 1,000 m é 60,000 m³: o volume é linear em relação ao comprimento.

Volume não é custo

Só pelo volume, um túnel vence em quase qualquer profundidade: 8d + 2d² ultrapassa 60 com apenas cerca de 3.8 m. Mas um metro cúbico de túnel custa mais. Ele é escavado no escuro, normalmente precisa de revestimento, e o material escavado tem de ser retirado pela boca. Um corte fica a céu aberto, e seu material muitas vezes pode construir um aterro próximo.

Então inclua um fator de custo k: um metro cúbico de túnel custa k vezes o de um metro cúbico de corte. O túnel fica mais barato quando a área do corte excede 60 × k. Solving 2d² + 8d = 60k resulta em d = −2 + √(4 + 30k).

Os fatores 2, 4 e 6 são premissas escolhidas para mostrar o padrão, não custos medidos. Mesmo um túnel que custa seis vezes mais por metro cúbico vence quando a colina tem cerca de 12 m de profundidade. A 20 m, um trecho de 100 m de corte é 96,000 m³; o túnel é 6,000 m³, e com quatro vezes o custo unitário isso equivale a 24,000 m³.

O que os primeiros construtores escolheram

A Ferrovia Liverpool e Manchester, inaugurada em 1830, cortou arenito em Olive Mount, um corte de cerca de duas milhas. A Ferrovia Londres e Birmingham, de Robert Stephenson, inaugurada em 1838, atravessou a crista de Chiltern no corte de Tring, de cerca de duas milhas e meia, escavado em grande parte com picaretas, pás e carrinhos de mão. O Great Western de Brunel seguiu o caminho oposto em Box, perto de Bath, onde a colina era espessa demais para ser cortada. O Box Tunnel foi inaugurado em 1841, tem cerca de 1.8 milhas (2.9 km) de comprimento e leva a linha em uma rampa descendente de 1 in 100, a rampa de projeto discutida em Por que as ferrovias seguem os rios. At the time it was the longest railway tunnel in the world.

Essas foram as duas respostas para o mesmo problema: um corte em Tring e em Olive Mount, onde o terreno era raso o bastante, e um túnel em Box, onde não era.

Uma regra para levar

Dobrar a profundidade de um corte multiplica o seu volume por até quatro. Dobrar o comprimento de um túnel o multiplica por dois. Para qualquer forma e fator de custo existe uma profundidade em que as curvas se cruzam, e a partir dela o túnel é a passagem mais barata.

Em Valley Rail: Magnata de Trens você arrasta uma via de cidade em cidade e cruza o rio em uma ponte de um dos cinco estilos. Para o lado estrutural dessas travessias, veja Como as pontes ferroviárias suportam uma carga.