コニカル車輪：列車はどうやってカーブを自ら曲がるのか

列車にはステアリングがありません。運転室の中には車輪を回すものは何もないのに、列車は何マイルも続けてカーブを滑らかに進みます。その理由は車輪の形状であり、その幾何学は数行の代数に収まります。

問題：1本の車軸、2つの経路

鉄道の輪軸では、2つの車輪が1本の頑丈な車軸に圧入されているため、同じ速さで一緒に回ります。直線の線路では問題ありません。カーブでは問題になります。外側のレールは内側より長いからです。両方の車輪が同じ直径だと、どちらかが滑らなければなりません。

道路車両にはディファレンシャルがあります。鉄道の輪軸にはそれがなく、同じ効果を踏面そのものから得ています。

テーパー

レール車輪の踏面は平らな円筒ではありません。フランジに近い側ほど直径が大きい、浅い円錐です。1 in 20 のテーパーはよく知られた数字ですが、実際のプロファイルは異なり、摩耗して別の形になることもあります。1 in 20 の傾きは0.05なので、踏面を100 mm横切るごとに、車輪の半径は5 mm変わります。

次に、輪軸が車軸の線に沿って外側のレールに向かって横にずれるところを想像してください。外側の車輪は、半径の大きい円錐の部分でレールに接し、内側の車輪は、より小さい部分で接します。外側の車輪は1回転あたりより長い距離を進み、輪軸は自ら舵を切ったことになります。

導出

次の記号を使います：

• R はカーブの半径で、線路の中心までを測ります。
• G はレール上の2つの接触点間の距離です。標準軌間では約1.5 mで、1,435 mmの軌間より少し大きくなっています。車輪はレールの頭部の中央付近で接するからです。（参照： なぜ標準軌間は1,435 mmなのか.)
• r₀ は、線路の中心にあるときの車輪の転がり半径です。
• テーパーは0.05で、t と書きます。
• y は、輪軸が外側のレールに向かって横にずれる量です。

ステップ1：線路が要求すること。 外側のレールは半径 R + G/2 の円に沿い、内側のレールは R − G/2 の円に沿います。小さな角度θを回るとき、外側の車輪は (R + G/2)θ、内側の車輪は (R − G/2)θ を進まなければなりません。その差は Gθ です。輪軸が進む距離 Rθ に対する割合は G/R です。

ステップ2：車輪が与えるもの。 両方の車輪は同じ角度だけ回るので、各車輪が進む距離は転がり半径に比例します。横にずれ y した後、外側の車輪は半径 r₀ + ty の上を転がり、内側の車輪は半径 r₀ − ty の上を転がります。半径の差は 2ty で、その分数的な差は 2ty / r₀.

ステップ3：等しいとおく。 車輪は、次のときに線路が要求するものを正確に与えます：

2ty / r₀ = G / R、よって y = r₀G / (2tR)

これは、トラック幅の半分を使うなら、r₀ × (G/2) / (R × t) と同じです。近似では、レール半径の正確な比 (R + G/2)/(R − G/2) を 1 + G/R とみなしていますが、これらの半径では正確です。

計算例

R = 500 m、r₀ = 0.46 m（直径約920 mm の車輪）、G = 1.5 m、t = 0.05 とします：

y = (0.46 × 1.5) / (2 × 0.05 × 500) = 0.69 / 50 = 0.0138 m、すなわち 13.8 mm

確認します。半径は外側で 0.46 + 0.05 × 0.0138 = 0.46069 m、内側で 0.45931 m になります。その差は 1.38 mm で、0.46 で割ると 0.0030 になります。線路が要求するのは G/R = 1.5 / 500 = 0.0030 です。100 mのカーブにわたって、外側の車輪は内側より 0.3 m 多く進み、テーパーの付いた踏面がまさにその分を供給します。

テーパーが小さいほど、1 mm あたりに得られる半径差が小さいため、より大きなずれが必要になります。

テーパーが尽きたとき：フランジ

輪軸はあまり遠くまでずれられません。フランジとレールの間にはわずかな余裕しかなく、横方向の自由な遊びは、片側あたり数ミリから約1センチの程度とよく言われます。鉄道や摩耗によって異なるので、7 mm を仮定として扱ってください。すると、R = 0.69 / (0.1 × 0.007)、約986 m のとき y が7 mm に達します。それよりきついカーブでは、フランジがレールに押し付けられます。

そこでは、フランジがバックアップになります。余分な横方向の力を負担し、車輪とレールが摩耗し、きしみ音が出ます。500 mで必要な13.8 mmは仮定した遊びを超えるので、そのカーブではフランジの接触が伴います。テーパーはゆるやかなカーブを導き、鋭いカーブはフランジが担います。

ハンティング

テーパーには副作用があります。直線の線路上で横にずれた輪軸を考えてください。円錐がそれを中心に押し戻し、行き過ぎ、そして左右に蛇行します。これを ハンティングと呼び、Klingelの式では蛇行の波長が 2π × √(r₀e / t) で、e は接触距離の半分の 0.75 m です。この数値では 2π × √(0.46 × 0.75 / 0.05) = 2π × √6.9、約16.5 m になります。

波長は速さに依存しないので、100 km/h（27.8 m/s）では、輪軸は1秒あたり 27.8 / 16.5 ≈ 1.7 回蛇行します。実際の車両は、蛇行が大きくなるのを止めるためのサスペンションとダンピングを持っています。テーパーが急だと操舵は良くなりますが、ハンティングも増えるので、テーパーは妥協の産物です。

ここから得られること

• 必要なずれは y = r₀G / (2tR) です。半径が2倍になるたびに半分になります。
• 1 in 20 のテーパーで R = 500 m の場合、y = 13.8 mm です。
• ずれが遊びを超えると、フランジが代わります。ハンティングは、テーパーの代償です。