Un train n’a pas de direction. Rien dans la cabine ne tourne les roues, pourtant un train suit une courbe en douceur, kilomètre après kilomètre. La raison tient à la forme de la roue, et la géométrie tient en quelques lignes d’algèbre.
Le problème : un essieu, deux trajets
Sur un essieu monté ferroviaire, les deux roues sont calées sur un seul essieu plein, donc elles tournent ensemble à la même vitesse. En voie droite, cela ne pose pas de problème. Dans une courbe, c’est un problème, car le rail extérieur est plus long que le rail intérieur. Si les deux roues avaient le même diamètre, l’une devrait glisser.
Les véhicules routiers utilisent un différentiel. Un essieu monté ferroviaire n’en a pas, et obtient le même effet grâce à la table de roulement elle-même.
La conicité
La table de roulement d’une roue de chemin de fer n’est pas un cylindre plat. C’est un cône peu prononcé, dont le diamètre est plus grand du côté du boudin. Une conicité de 1 pour 20 est une valeur bien connue, bien que les profils réels varient et s’usent en d’autres formes. Une pente de 1 pour 20 vaut 0.05, donc le rayon de la roue change de 5 mm pour chaque 100 mm parcourus sur la table de roulement.
Imaginez maintenant l’essieu monté qui glisse latéralement le long de son axe vers le rail extérieur. La roue extérieure rencontre le rail sur une partie du cône de plus grand rayon, et la roue intérieure sur une partie de plus petit rayon. La roue extérieure parcourt davantage de chemin par tour, et l’essieu monté s’est orienté tout seul.
La démonstration
Utilisez ces symboles :
- R est le rayon de la courbe, mesuré jusqu’au centre de la voie.
- G est la distance entre les deux points de contact sur les rails. Pour l’écartement normal, cela fait environ 1.5 m, un peu plus que l’écartement de 1,435 mm, car les roues touchent près du milieu du champignon du rail. (Voir pourquoi l’écartement normal est de 1,435 mm.)
- r0 est le rayon de roulement de la roue lorsqu’elle est centrée sur la voie.
- La conicité vaut 0.05, notée t.
- y est le décalage latéral de l’essieu monté vers le rail extérieur.
Étape 1 : ce que la voie exige. Le rail extérieur suit un cercle de rayon R + G/2, et le rail intérieur R − G/2. Pour un petit angle θ, la roue extérieure doit parcourir (R + G/2)θ et la roue intérieure (R − G/2)θ. La différence est Gθ. Rapportée à la distance Rθ parcourue par l’essieu monté, cela donne G/R.
Étape 2 : ce que donnent les roues. Les deux roues tournent du même angle, donc la distance parcourue par chacune est proportionnelle à son rayon de roulement. Après un décalage y, la roue extérieure roule sur r0 + ty, et la roue intérieure sur r0 − ty. La différence de rayon vaut 2ty, et la différence relative vaut 2ty / r0.
Étape 3 : égalisez-les. Les roues fournissent exactement ce que la voie exige lorsque
2ty / r0 = G / R, donc y = r0G / (2tR)
C’est la même chose que r0 × (G/2) / (R × t), si vous préférez la demi-largeur de voie. L’approximation consiste à prendre le rapport exact des rayons des rails, (R + G/2)/(R − G/2), égal à 1 + G/R, ce qui est précis à ces rayons.
Un exemple détaillé
Prenons R = 500 m, r0 = 0.46 m (une roue d’environ 920 mm de diamètre), G = 1.5 m et t = 0.05 :
y = (0.46 × 1.5) / (2 × 0.05 × 500) = 0.69 / 50 = 0.0138 m, soit 13.8 mm
Vérifions. Les rayons deviennent 0.46 + 0.05 × 0.0138 = 0.46069 m à l’extérieur et 0.45931 m à l’intérieur. Leur différence est de 1.38 mm, qui divisée par 0.46 donne 0.0030. La voie exige G/R = 1.5 / 500 = 0.0030. Sur 100 m de courbe, la roue extérieure parcourt 0.3 m de plus que la roue intérieure, et la table de roulement conique fournit exactement cela.
Une conicité plus faible exige un décalage plus grand, car on gagne moins de différence de rayon par millimètre.
Quand la conicité ne suffit plus : les boudins
L’essieu monté ne peut pas glisser beaucoup. Il n’y a qu’un faible jeu entre le boudin et le rail, et le jeu latéral libre est souvent évalué à quelques millimètres, jusqu’à environ un centimètre de chaque côté. Cela varie selon le réseau et l’usure, donc considérez 7 mm comme une hypothèse. Alors y atteint 7 mm lorsque R = 0.69 / (0.1 × 0.007), soit environ 986 m. Toute courbe plus serrée que cela pousse le boudin contre le rail.
Là, le boudin prend le relais. Il supporte l’effort latéral supplémentaire, et la roue et le rail s’usent et crissent. Le décalage de 13.8 mm nécessaire à 500 m dépasse le jeu supposé, donc cette courbe impliquerait un contact de boudin. La conicité guide dans les courbes douces ; le boudin prend les courbes serrées.
Le lacet
La conicité a un effet secondaire. Prenez un essieu monté sur voie droite, déplacé latéralement. Les cônes le ramènent au centre, il dépasse, et il zigzague donc d’un côté à l’autre. C’est ce qu’on appelle le lacet, et la formule de Klingel donne la longueur d’onde du lacet comme 2π × √(r0e / t), où e est la moitié de la distance de contact, soit 0.75 m. Avec nos chiffres, cela fait 2π × √(0.46 × 0.75 / 0.05) = 2π × √6.9, soit environ 16.5 m.
La longueur d’onde ne dépend pas de la vitesse, donc à 100 km/h (27.8 m/s), l’essieu monté zigzague 27.8 / 16.5 ≈ 1.7 fois par seconde. Les véhicules réels disposent de suspensions et d’amortisseurs pour empêcher le zigzag de s’amplifier. Une conicité plus forte guide mieux, mais provoque davantage de lacet ; la conicité est donc un compromis.
Ce qu'il faut en retenir
- Le décalage requis est y = r0G / (2tR). Il est divisé par deux à chaque fois que le rayon double.
- À R = 500 m avec une conicité de 1 pour 20, y = 13.8 mm.
- Les boudins prennent le relais quand le décalage dépasse le jeu. Le lacet est le prix de la conicité.
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