Колёса с конусностью: как поезд сам поворачивает на кривой

У поезда нет руля. В кабине ничто не поворачивает колёса, однако поезд плавно проходит кривую миля за милей. Причина — форма колеса, а геометрия умещается в несколько строк алгебры.

Задача: одна ось, два пути

На железнодорожной колёсной паре два колеса насажены на одну сплошную ось, поэтому они вращаются вместе с одинаковой скоростью. На прямом участке это нормально. На кривой это проблема, потому что внешний рельс длиннее внутреннего. Если бы оба колеса были одного диаметра, одно из них обязательно проскальзывало бы.

Автомобили используют дифференциал. У железнодорожной колёсной пары его нет, и тот же эффект она получает от самой поверхности катания.

Конусность

Поверхность катания рельсового колеса — не плоский цилиндр. Это пологий конус, диаметр которого больше на стороне, ближней к гребню. Конусность 1 к 20 — известная величина, хотя реальные профили различаются и изнашиваются в другие формы. Наклон 1 к 20 — это 0.05, поэтому радиус колеса меняется на 5 мм на каждые 100 мм, на которые вы смещаетесь по поверхности катания.

Представьте теперь, что колёсная пара смещается вбок по своей оси к внешнему рельсу. Внешнее колесо встречает рельс на участке конуса с большим радиусом, а внутреннее — на меньшем. Внешнее колесо проходит за оборот большее расстояние, и колёсная пара сама поворачивает.

Вывод

Используются обозначения:

• R — радиус кривой, измеренный до центра пути.
• G — расстояние между двумя точками контакта на рельсах. Для стандартной колеи это около 1.5 м, немного больше 1,435 мм колеи, поскольку колёса касаются рельса ближе к середине головки. (См. почему стандартная колея 1,435 мм.)
• r₀ ) — катящийся радиус колеса, когда оно центрировано на пути.
• Конусность равна 0.05, обозначим её t.
• y — боковое смещение колёсной пары к внешнему рельсу.

Шаг 1: чего требует путь. Внешний рельс следует по окружности радиуса R + G/2, а внутренний — R − G/2. За один поворот на малый угол θ внешнее колесо должно пройти (R + G/2)θ, а внутреннее — (R − G/2)θ. Разница составляет Gθ. Как доля расстояния Rθ, которое проходит колёсная пара, это G/R.

Шаг 2: что дают колёса. Оба колеса поворачиваются на один и тот же угол, поэтому пройденное каждым расстояние пропорционально его катящемуся радиусу. После смещения y внешнее колесо катится по радиусу r₀ + ty, а внутреннее — по радиусу r₀ − ty. Разница радиусов равна 2ty, а относительная разница — 2ty / r₀.

Шаг 3: приравняем. Колёса дают ровно то, что требует путь, когда

2ty / r₀ = G / R, поэтому y = r₀G / (2tR)

Это то же самое, что r₀ × (G/2) / (R × t), если удобнее половина ширины колеи. Приближение состоит в том, что точное отношение радиусов рельсов (R + G/2)/(R − G/2) принимается равным 1 + G/R, что при таких радиусах достаточно точно.

Разобранный пример

Возьмём R = 500 м, r₀ = 0.46 м (колесо диаметром около 920 мм), G = 1.5 м и t = 0.05:

y = (0.46 × 1.5) / (2 × 0.05 × 500) = 0.69 / 50 = 0.0138 м, что составляет 13.8 мм

Проверим. Радиусы становятся 0.46 + 0.05 × 0.0138 = 0.46069 м снаружи и 0.45931 м внутри. Их разница 1.38 мм, что, делённое на 0.46, даёт 0.0030. Путь требует G/R = 1.5 / 500 = 0.0030. На 100 м кривой внешнее колесо проходит на 0.3 м больше внутреннего, и конусная поверхность катания даёт ровно это.

Меньшая конусность требует большего смещения, потому что на миллиметр смещения получается меньше разницы радиусов.

Когда конусность заканчивается: гребни

Колёсная пара не может далеко сместиться. Между гребнем и рельсом есть лишь небольшой зазор, и свободный боковой люфт часто указывают порядка нескольких миллиметров до примерно сантиметра в каждую сторону. Он различается по дорогам и износу, поэтому считайте 7 мм допущением. Тогда y достигает 7 мм при R = 0.69 / (0.1 × 0.007), около 986 м. Любая более крутая кривая прижимает гребень к рельсу.

Здесь гребень — резерв. Он несёт дополнительную боковую силу, а колесо и рельс изнашиваются и скрипят. Смещение 13.8 мм, необходимое на 500 м, превышает предполагаемый люфт, поэтому на такой кривой будет контакт гребня. Конусность направляет на пологих кривых; гребень берёт на себя крутые.

Галопирование

У конусности есть побочный эффект. Возьмите колёсную пару на прямом участке, смещённую вбок. Конусы возвращают её к центру, она проскакивает и поэтому виляет из стороны в сторону. Это называется галопированием, а формула Klingel даёт длину волны галопирования как 2π × √(r₀e / t), где e — половина расстояния контакта, 0.75 м. При наших числах это 2π × √(0.46 × 0.75 / 0.05) = 2π × √6.9, около 16.5 м.

Длина волны не зависит от скорости, поэтому на скорости 100 км/ч (27.8 м/с) колёсная пара виляет 27.8 / 16.5 ≈ 1.7 раза в секунду. У реальных машин есть подвеска и демпфирование, которые останавливают рост виляния. Более крутая конусность лучше направляет, но сильнее галопирует, поэтому конусность — компромисс.

Что из этого вынести

• Требуемое смещение: y = r₀G / (2tR). Оно уменьшается вдвое каждый раз, когда радиус удваивается.
• При R = 500 м и конусности 1 к 20 y = 13.8 мм.
• Гребни берут на себя управление, когда смещение превышает люфт. Галопирование — цена конусности.