Un tren no tiene dirección. Nada en la cabina gira las ruedas, y aun así un tren sigue una curva con suavidad tramo tras tramo. La razón es la forma de la rueda, y la geometría cabe en unas pocas líneas de álgebra.
El problema: un eje, dos caminos
En un juego de ruedas ferroviario, las dos ruedas están montadas a presión sobre un único eje macizo, así que giran juntas a la misma velocidad. En vía recta eso está bien. En una curva es un problema, porque el carril exterior es más largo que el interior. Si ambas ruedas tuvieran el mismo diámetro, una tendría que deslizar.
Los vehículos de carretera usan un diferencial. Un juego de ruedas ferroviario no tiene ninguno, y consigue el mismo efecto con la propia banda de rodadura.
La conicidad
La banda de rodadura de una rueda de ferrocarril no es un cilindro plano. Es un cono poco pronunciado, de mayor diámetro en el lado más cercano a la pestaña. Una conicidad de 1 en 20 es una cifra muy conocida, aunque los perfiles reales varían y se desgastan hasta adoptar otras formas. Una pendiente de 1 en 20 es 0.05, así que el radio de la rueda cambia 5 mm por cada 100 mm que te desplazas por la banda de rodadura.
Imagina ahora el juego de ruedas deslizándose lateralmente a lo largo de su eje hacia el carril exterior. La rueda exterior encuentra el carril en una parte del cono con mayor radio, y la rueda interior lo encuentra en una de menor radio. La rueda exterior recorre más distancia por vuelta, y el juego de ruedas se ha dirigido solo.
La deducción
Usa estos símbolos:
- R es el radio de la curva, medido hasta el centro de la vía.
- G es la distancia entre los dos puntos de contacto sobre los carriles. Para el ancho estándar esto es unos 1.5 m, algo más que el ancho de vía de 1,435 mm, ya que las ruedas tocan cerca del centro de la cabeza del carril. (Véase por qué el ancho estándar es de 1,435 mm.)
- r0 es el radio de rodadura de la rueda cuando está centrada en la vía.
- La conicidad es 0.05, escrita como t.
- y es el desplazamiento lateral del juego de ruedas hacia el carril exterior.
Paso 1: lo que exige la vía. El carril exterior sigue un círculo de radio R + G/2 y el interior R − G/2. En un giro a través de un pequeño ángulo θ, la rueda exterior debe recorrer (R + G/2)θ y la interior (R − G/2)θ. La diferencia es Gθ. Como fracción de la distancia Rθ que recorre el juego de ruedas, eso es G/R.
Paso 2: lo que dan las ruedas. Ambas ruedas giran el mismo ángulo, así que la distancia que recorre cada una es proporcional a su radio de rodadura. Tras un desplazamiento y, la rueda exterior rueda sobre el radio r0 + ty, y la interior sobre el radio r0 − ty. La diferencia de radio es 2ty, y la diferencia relativa es 2ty / r0.
Paso 3: igualarlas. Las ruedas dan exactamente lo que exige la vía cuando
2ty / r0 = G / R, así que y = r0G / (2tR)
Es lo mismo que r0 × (G/2) / (R × t), si prefieres usar la mitad del ancho de vía. La aproximación consiste en tomar el cociente exacto de radios de carril, (R + G/2)/(R − G/2), como 1 + G/R, lo que es preciso a estos radios.
Un ejemplo resuelto
Tomemos R = 500 m, r0 = 0.46 m (una rueda de unos 920 mm de diámetro), G = 1.5 m y t = 0.05:
y = (0.46 × 1.5) / (2 × 0.05 × 500) = 0.69 / 50 = 0.0138 m, que es 13.8 mm
Compruébalo. Los radios pasan a ser 0.46 + 0.05 × 0.0138 = 0.46069 m por fuera y 0.45931 m por dentro. Su diferencia es 1.38 mm, que dividido entre 0.46 da 0.0030. La vía exige G/R = 1.5 / 500 = 0.0030. En 100 m de curva, la rueda exterior recorre 0.3 m más que la interior, y la banda de rodadura cónica aporta exactamente esa diferencia.
Una conicidad menor necesita un desplazamiento mayor, porque se gana menos diferencia de radio por milímetro.
Cuando se acaba la conicidad: las pestañas
El juego de ruedas no puede deslizarse mucho. Solo hay una pequeña holgura entre la pestaña y el carril, y el juego lateral libre suele citarse del orden de unos pocos milímetros hasta alrededor de un centímetro en cada sentido. Varía según la vía y el desgaste, así que trata los 7 mm como una suposición. Entonces y alcanza 7 mm cuando R = 0.69 / (0.1 × 0.007), es decir, unos 986 m. Cualquier curva más cerrada que eso empuja la pestaña contra el carril.
Ahí la pestaña es el respaldo. Soporta la fuerza lateral adicional, y la rueda y el carril se desgastan y chirrían. Los 13.8 mm necesarios a 500 m superan la holgura supuesta, así que esa curva implicaría contacto de pestaña. La conicidad dirige en las curvas suaves; la pestaña se encarga de las cerradas.
Serpenteo
La conicidad tiene un efecto secundario. Toma un juego de ruedas en vía recta que se desplaza lateralmente. Los conos lo devuelven al centro, lo sobrepasa y así serpentea de un lado a otro. Esto se llama serpenteo, y la fórmula de Klingel da la longitud de onda del serpenteo como 2π × √(r0e / t), donde e es la mitad de la distancia de contacto, 0.75 m. Con nuestras cifras eso es 2π × √(0.46 × 0.75 / 0.05) = 2π × √6.9, unos 16.5 m.
La longitud de onda no depende de la velocidad, así que a 100 km/h (27.8 m/s) el juego de ruedas serpentea 27.8 / 16.5 ≈ 1.7 veces por segundo. Los vehículos reales tienen suspensión y amortiguación para evitar que el serpenteo crezca. Una conicidad más pronunciada dirige mejor, pero serpentea más, así que la conicidad es un compromiso.
Qué sacar de ello
- El desplazamiento necesario es y = r0G / (2tR). Se reduce a la mitad cada vez que el radio se duplica.
- Con R = 500 m y una conicidad de 1 en 20, y = 13.8 mm.
- Las pestañas toman el relevo cuando el desplazamiento supera la holgura. El serpenteo es el precio de la conicidad.
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