Konische Räder: wie ein Zug sich selbst durch eine Kurve lenkt

Ein Zug hat keine Lenkung. Nichts im Führerstand dreht die Räder, und doch folgt ein Zug eine Kurve Meile um Meile reibungslos. Der Grund ist die Form des Rades, und die Geometrie passt in wenige Zeilen Algebra.

Das Problem: eine Achse, zwei Wege

Auf einem Eisenbahn-Radsatz sind die beiden Räder auf eine einzige massive Achse gepresst, sodass sie sich mit gleicher Drehzahl drehen. Auf gerader Strecke ist das in Ordnung. In einer Kurve ist es ein Problem, denn die äußere Schiene ist länger als die innere. Hätten beide Räder denselben Durchmesser, müsste eines rutschen.

Straßenfahrzeuge haben ein Differential. Ein Eisenbahn-Radsatz hat keins und erreicht denselben Effekt durch die Lauffläche selbst.

Die Konizität

Die Lauffläche eines Schienenrads ist kein flacher Zylinder. Sie ist ein flacher Kegel, auf der Seite zum Spurkranz im Durchmesser größer. Eine Konizität von 1 zu 20 ist eine bekannte Größe, auch wenn echte Profile variieren und sich zu anderen Formen abnutzen. Eine Steigung von 1 zu 20 ist 0.05, also ändert sich der Radius des Rades um 5 mm für jeden 100 mm, um die du über die Lauffläche wanderst.

Stell dir nun vor, der Radsatz gleitet seitlich entlang seiner Achse zur äußeren Schiene. Das äußere Rad trifft die Schiene auf einem Teil des Kegels mit größerem Radius, und das innere auf einem mit kleinerem. Das äußere Rad legt pro Umdrehung mehr Strecke zurück, und der Radsatz hat sich selbst gelenkt.

Die Herleitung

Wir verwenden diese Symbole:

• R ist der Radius der Kurve, gemessen zur Gleismitte.
• G ist der Abstand zwischen den beiden Kontaktpunkten auf den Schienen. Bei Normalspur sind das etwa 1.5 m, etwas mehr als die Spurweite von 1,435 mm, da die Räder nahe der Mitte des Schienenkopfs aufliegen. (Siehe warum die Normalspur 1,435 mm beträgt).)
• r₀ ist der Rollradius des Rades, wenn es in der Gleismitte steht.
• Die Konizität beträgt 0.05, geschrieben als t.
• y ist die seitliche Verschiebung des Radsatzes zur äußeren Schiene.

Schritt 1: was das Gleis verlangt. Die äußere Schiene folgt einem Kreis mit dem Radius R + G/2, die innere mit R − G/2. Bei einer Drehung um einen kleinen Winkel θ muss das äußere Rad (R + G/2)θ zurücklegen und das innere (R − G/2)θ. Die Differenz ist Gθ. Als Anteil der Strecke Rθ, die der Radsatz zurücklegt, ist das G/R.

Schritt 2: was die Räder leisten. Beide Räder drehen sich um denselben Winkel, daher ist die Strecke, die jedes zurücklegt, proportional zu seinem Rollradius. Nach einer Verschiebung y rollt das äußere Rad auf r₀ + ty und das innere auf r₀ − ty. Die Differenz im Radius ist 2ty, und die relative Differenz ist 2ty / r₀.

Schritt 3: gleichsetzen. Die Räder liefern genau das, was das Gleis verlangt, wenn

2ty / r₀ = G / R, also y = r₀G / (2tR)

Das ist dasselbe wie r₀ × (G/2) / (R × t), wenn man mit der halben Spurbreite rechnet. Die Näherung besteht darin, dass das exakte Verhältnis der Schienenradien, (R + G/2)/(R − G/2), als 1 + G/R angenommen wird, was bei diesen Radien genau genug ist.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Nimm R = 500 m, r₀ = 0.46 m (ein Rad etwa 920 mm im Durchmesser), G = 1.5 m und t = 0.05:

y = (0.46 × 1.5) / (2 × 0.05 × 500) = 0.69 / 50 = 0.0138 m, das sind 13.8 mm

Prüfe es nach. Die Radien werden 0.46 + 0.05 × 0.0138 = 0.46069 m außen und 0.45931 m innen. Ihre Differenz beträgt 1.38 mm, was geteilt durch 0.46 die Zahl 0.0030 ergibt. Das Gleis verlangt G/R = 1.5 / 500 = 0.0030. Über 100 m Kurve legt das äußere Rad 0.3 m mehr zurück als das innere, und die konische Lauffläche liefert genau das.

Eine kleinere Konizität braucht eine größere Verschiebung, weil pro Millimeter weniger Radiusdifferenz gewonnen wird.

Wenn die Konizität nicht mehr reicht: Spurkränze

Der Radsatz kann nicht weit gleiten. Zwischen Spurkranz und Schiene ist nur wenig Spiel, und das freie seitliche Spiel wird oft mit einigen Millimetern bis etwa einem Zentimeter pro Richtung angegeben. Es variiert je nach Bahn und Verschleiß, daher behandle 7 mm als Annahme. Dann erreicht y 7 mm bei R = 0.69 / (0.1 × 0.007), etwa 986 m. Jede engere Kurve drückt den Spurkranz gegen die Schiene.

Dort ist der Spurkranz die Reserve. Er trägt die zusätzliche seitliche Kraft, und Rad und Schiene verschleißen und quietschen. Die 13.8 mm, die bei 500 m nötig sind, überschreiten das angenommene Spiel, daher würde diese Kurve Spurkranzkontakt bedeuten. Die Konizität lenkt in sanften Kurven; der Spurkranz übernimmt die engen.

Schlingern

Die Konizität hat eine Nebenwirkung. Nimm einen Radsatz auf gerader Strecke, der seitlich verschoben ist. Die Kegel drücken ihn zurück zur Mitte, er schießt darüber hinaus, und so pendelt er von Seite zu Seite. Das nennt man Schlingern, und die Formel von Klingel ergibt für die Wellenlänge des Schlingerns 2π × √(r₀e / t), wobei e die halbe Kontaktstrecke ist, 0.75 m. Mit unseren Zahlen sind das 2π × √(0.46 × 0.75 / 0.05) = 2π × √6.9, etwa 16.5 m.

Die Wellenlänge hängt nicht von der Geschwindigkeit ab, daher pendelt der Radsatz bei 100 km/h (27.8 m/s) 27.8 / 16.5 ≈ 1.7-mal pro Sekunde. Echte Fahrzeuge haben Federung und Dämpfung, damit das Schlingern nicht anwächst. Eine steilere Konizität lenkt besser, schlingert aber stärker, daher ist die Konizität ein Kompromiss.

Was du daraus mitnehmen solltest

• Die nötige Verschiebung ist y = r₀G / (2tR). Sie halbiert sich, wenn sich der Radius verdoppelt.
• Bei R = 500 m mit einer Konizität von 1 zu 20 ist y = 13.8 mm.
• Die Spurkränze übernehmen, wenn die Verschiebung das Spiel übersteigt. Schlingern ist der Preis der Konizität.