Wenn eine Bahnstrecke auf einen Hügel trifft, der zu steil zum Hinaufsteigen ist, hat der Ingenieur zwei Möglichkeiten, geradeaus weiterzufahren: den Hügel von oben abtragen oder ihn von innen durchbohren. Beide halten die Steigung sanft. Sie unterscheiden sich darin, wie der Erdaushub wächst, und dieser Unterschied entscheidet über die meisten Entscheidungen auf einer realen Strecke.
Einschnitt: die Tiefe geht quadratisch ein
Ein Einschnitt kann keine senkrechten Wände haben, weil loses Erdreich auf das Gleis rutschen würde. Die Seiten werden daher schräg zurückgeschnitten. Nehmen Sie eine einfache, angenommene Form: eine ebene Sohle 8 m breit für das Gleis, und Böschungen von 2 m waagerecht auf je 1 m Höhe. For a cutting of depth d der Querschnitt besteht aus einem Rechteck und zwei Dreiecken:
Fläche = 8d + 2d² Quadratmeter.
Der erste Term wächst proportional zur Tiefe. Der zweite wächst mit ihrem Quadrat und gewinnt die Oberhand, je tiefer der Einschnitt wird. Jeder Meter Länge multipliziert diese Fläche mit einem Meter, daher ist die Fläche zugleich das Volumen des Erdreichs, das je Meter Strecke abgetragen werden muss.
| Tiefe | Breite oben | Fläche je Meter | Über 100 m |
|---|---|---|---|
| 5 m | 28 m | 90 m² | 9,000 m³ |
| 10 m | 48 m | 280 m² | 28,000 m³ |
| 15 m | 68 m | 570 m² | 57,000 m³ |
| 20 m | 88 m | 960 m² | 96,000 m³ |
Wenn man von 10 m auf 20 m Tiefe geht, verdoppelt sich die Arbeit nicht. Sie vervielfacht sich mit 960 / 280, also um etwa 3.4. Ein Einschnitt, der bei 5 m günstig war, wird bei 20 m zu einem großen Projekt, und er schneidet außerdem einen 88 m breiten Streifen aus dem Hang.
Tunnel: nur die Länge zählt
Der Querschnitt eines Tunnels richtet sich nach den Zügen, die er tragen muss, nicht danach, wie viel Hügel darüber liegt. Angenommen, eine zweigleisige Röhre von 60 m² ausgebrochen. Dann kostet jeder Meter Tunnel 60 m³, ganz gleich, ob der Hügel darüber 5 m oder 100 m dick ist. Ein 100 m langer Tunnel ist 6,000 m³, und ein 1,000 m langer Tunnel ist 60,000 m³: Das Volumen wächst linear mit der Länge.
Volumen ist nicht Kosten
Allein nach Volumen gewinnt ein Tunnel in fast jeder Tiefe: 8d + 2d² überschreitet 60 schon bei etwa 3.8 m. Doch ein Kubikmeter aus einem Tunnel kostet mehr. Er wird im Dunkeln ausgebrochen, braucht meist eine Auskleidung, und der Aushub muss durch das Portal herausgeschafft werden. Ein Einschnitt liegt unter freiem Himmel, und sein Aushub lässt sich oft gleich in der Nähe zu einem Damm aufschütten.
Deshalb einen Kostenfaktor einbeziehen k: ein Kubikmeter Tunnel kostet k mal so viel wie ein Kubikmeter Einschnitt. Der Tunnel ist günstiger, sobald die Einschnittfläche 60 × k. Solving 2d² + 8d = 60k ergibt d = −2 + √(4 + 30k).
| Tunnelkosten je m³ | Einschnittfläche an der Gleichgewichtstiefe | Gleichgewichtstiefe |
|---|---|---|
| 2 × Einschnitt | 120 m² | 6.0 m |
| 4 × Einschnitt | 240 m² | 9.1 m |
| 6 × Einschnitt | 360 m² | 11.6 m |
Die Faktoren 2, 4 und 6 sind Annahmen, die das Muster zeigen sollen, keine gemessenen Kosten. Selbst ein Tunnel, der pro Kubikmeter sechsmal so viel kostet, gewinnt, sobald der Hügel etwa 12 m tief ist. Bei 20 m sind 100 m Einschnitt 96,000 m³; der Tunnel ist 6,000 m³, und bei dem vierfachen Stückpreis entspricht das 24,000 m³.
Ein realer Hügel hat keine gleichbleibende Tiefe. Der Einschnitt ist am Gipfel am tiefsten und an seinen Enden flach, daher kombinieren Ingenieure oft beides: einen Tunnel unter dem Gipfel, mit Einschnitten, die zu jedem Portal führen.
Was die frühen Bauherren wählten
Die Liverpool and Manchester Railway, 1830 eröffnet, durchschnitt bei Olive Mount den Sandstein in einem etwa zwei Meilen langen Einschnitt. Robert Stephensons London and Birmingham Railway, 1838 eröffnet, nahm den Chiltern-Höhenzug im Tring-Einschnitt, etwa zweieinhalb Meilen lang, der größtenteils mit Hacken, Schaufeln und Schubkarren ausgehoben wurde. Brunels Great Western ging bei Box, nahe Bath, den anderen Weg, wo der Hügel zu dick zum Einschneiden war. Der Box Tunnel wurde 1841 eröffnet, ist etwa 1.8 Meilen (2.9 km) lang und führt die Strecke mit einem abfallenden Gefälle von 1 zu 100, der maßgebenden Steigung, die behandelt wird in Warum Eisenbahnen Flüssen folgen. At the time it was the longest railway tunnel in the world.
Dies waren die beiden Antworten auf dasselbe Problem: ein Einschnitt bei Tring und Olive Mount, wo der Boden flach genug war, und ein Tunnel bei Box, wo er es nicht war.
Eine Regel zum Mitnehmen
Verdoppelt man die Tiefe eines Einschnitts, vervielfacht sich sein Volumen auf bis zu das Vierfache. Verdoppelt man die Länge eines Tunnels, vervielfacht sich sein Volumen mit zwei. Für jede Form und jeden Kostenfaktor gibt es eine Tiefe, an der sich die Kurven kreuzen, und darüber hinaus ist der Tunnel der günstigere Weg hindurch.
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