Die meisten Summen in Fives and Threes, die überhaupt Punkte bringen, sind 1 bis 4 Punkte wert. Fünfzehn ist 8 wert, und die nächstbeste Summe, 18, ist 6 wert. Die Lücke ist kein Zufall der Regeln. Sie ergibt sich daraus, wie sich die beiden Wertungstests kombinieren, und dieselbe Summe erklärt, warum man eine 15 weit seltener sieht als eine 12 oder eine 9.
Warum die 15 doppelt zahlt
Die Regel lautet: Addiere die beiden offenen Enden, dann zählt die Summe geteilt durch drei, wenn sie durch drei teilbar ist, plus die Summe geteilt durch fünf, wenn sie durch fünf teilbar ist. Beide Tests gelten für 15: 15 ÷ 3 = 5 und 15 ÷ 5 = 3, also zählt sie 5 + 3 = 8 Punkte. The full rule and every total are set out in wie die Wertung bei Fives and Threes funktioniert.
Fünfzehn ist die kleinste Zahl, durch die sowohl drei als auch fünf teilbar sind. Die nächste solche Zahl ist 30, und zwei offene Enden können sie nicht erreichen: Mit einem Standard-Doppel-Sechs-Set zeigt ein einfaches Ende höchstens 6 und ein Doppel am Ende höchstens 12, also ist die größte Summe 12 + 10 = 22. Fünfzehn ist daher die einzige Summe, die jemals in beide Richtungen punkten kann.
Punkte pro Feld
Teile die Punktzahl durch die Summe, und ein Muster erscheint. Jede Summe, die durch drei teilbar ist, zählt genau einen Punkt für jeweils drei Felder, also ein Drittel Punkt pro Feld. Jede Summe, die nur durch fünf teilbar ist, zählt einen Punkt für jeweils fünf, also ein Fünftel Punkt pro Feld. Bei 15 addieren sich die beiden Raten:
1/3 + 1/5 = 8/15, also etwa 0.53 Punkte pro Feld.
Also bringt 15 pro Feld auf dem Tisch gut eineinhalbmal so viel wie eine 9 oder eine 18 und mehr als zweieinhalbmal so viel wie eine 10 oder eine 20.
Dieselbe Summe zeigt, dass bei gleichen Summen Dreier die bessere Sorte sind: Eine 12 bringt 4 Punkte, während eine 10 2 bringt.
Wie selten sie vorkommt
Zähle die Möglichkeiten, jede Summe zu bilden. Bei einem Doppel-Sechs-Set kann ein Ende eine einfache Zahl von 0 bis 6 zeigen oder ein Doppel, das doppelt zählt, 0 bis 12 in Zweierschritten. Das sind 14 verschiedene Endflächen. Paart man sie, lässt das Doppel-Sechs gegen sich selbst weg, weil es nur eine Doppel-Sechs gibt, erhält man 98 verschiedene Paare von Enden. Dann addiere die Punkte über alle 98.
| Summe | Wertung | Paare von Enden |
|---|---|---|
| 6 | 2 | 10 |
| 12 | 4 | 8 |
| 5 | 1 | 6 |
| 9 | 3 | 5 |
| 10 | 2 | 9 |
| 3 | 1 | 4 |
| 18 | 6 | 3 |
| 15 | 8 | 2 |
| 20 | 4 | 1 |
Achtundvierzig der 98 Paare erzielen etwas, und sie sind zusammen 133 Punkte wert, im Schnitt etwa 1.36 pro Paar. Die beiden Paare, die 15 ergeben, sind 16 dieser Punkte wert, sodass jedes etwa sechsmal so viel wie der Durchschnitt ist. Außerdem sind sie nur 2% der Paare, weshalb sich die 15 wie ein Preis anfühlt, wenn sie kommt.
Dies sind Zählungen von Kartenpaaren, keine Wahrscheinlichkeiten: Sie ignorieren, was gespielt wurde und wer was hält.
Die beiden Paare, die 15 ergeben
Jede 15 braucht ein Doppel an einem Ende, weil zwei einfache Enden höchstens 12 ergeben. Das Doppel muss gerade sein, also muss das andere Ende ungerade sein, damit die Summe ungerade wird. Das lässt genau zwei Paare übrig:
- Doppel-Sechs (12 Augen) mit einer einfachen 3.
- Doppel-Fünf (10 Augen) mit einer einfachen 5.
Eine 15 erkennen und verhindern
Weil ein Doppel an einem passenden Ende gelegt werden muss, kommt eine 15 meist auf einem von zwei Wegen zustande.
- Du legst das Doppel. Die Enden zeigen 6 und 3, und du hältst das Doppel-Sechs: Lege es auf die 6, und die Enden werden 12 und 3. Ebenso 5 und 5 mit dem Doppel-Fünf.
- Du legst das einfache Ende. Ein Doppel-Sechs liegt bereits an einem Ende. Ein Stein, der an dem anderen Ende eine 3 zurücklässt, bringt 8 Punkte; ebenso jeder Stein, der eine 5 gegen eine offene Doppel-Fünf hinterlässt.
Die defensive Lesart ist dieselbe Summe in umgekehrter Richtung. Bevor du einen Stein legst, schau dir das Endenpaar an, das er hinterlässt. Hinterlässt er 6 und 3 oder 5 und 5, kann ein Doppel-Sechs oder Doppel-Fünf daraus trotzdem 8 Punkte für denjenigen machen, der es hält. Wenn du das Doppel selbst hältst, ist das sicher. Wenn nicht, ist ein Zug, der 2 oder 3 Punkte bringt, aber ein solches Paar hinterlässt, unter Umständen weniger wert als ein ruhigerer.
Für ein offenes Doppel gilt das Gegenteil. Ein offenes Doppel-Sechs oder Doppel-Fünf lädt zu einer 15 ein, solange es nicht abgedeckt ist, also zähle die 3er und 5er, die du hältst, bevor du eines liegen lässt.
Im Spiel Fives and Threes Dominoes die Tabelle zeigt die Summen der offenen Enden und die erzielten Punkte nach jedem Zug, sodass du auf eine 15 achten und sehen kannst, wie sie als 8 zählt.
Fives and Threes Dominoes lässt dich solo gegen einen Computergegner auf Casual oder Competitive spielen, bis zu einem Ziel von 61, 121, 181 oder 241 Punkten. Die Tabelle zeigt die Summen der offenen Enden und die erzielten Punkte, und ein Doppel an einem offenen Ende zählt beide Augen. Es gibt keine Werbung und keine In-App-Käufe, und optionale Match-Punkte existieren nur im Spiel ohne Geldwert.