Fives and Threesで15が最良の合計である理由

Fives and Threesで得点する合計のほとんどは1から4点です。15は8点で、次に高い18は6点です。この差はルールの偶然ではありません。2つの得点判定の組み合わせから生じるもので、同じ計算が、15が12や9よりずっと少なくしか見られない理由も説明します。

15が2倍になる理由

ルールは、開放端の2つを足し、その合計が3で割り切れれば合計÷3の点数、5で割り切れれば合計÷5の点数を加えるというものです。15には両方の判定が当てはまります。15 ÷ 3 = 5、15 ÷ 5 = 3 なので、得点は 5 + 3 = 8点. The full rule and every total are set out in Fives and Threesの得点の仕組み.

15は3と5の両方で割り切れる最小の数です。次にそのような数は30ですが、開放端の2つでは30に届きません。標準のダブルシックスのセットでは、通常の端は最大6、端のダブルは最大12なので、合計の最大値は 12 + 10 = 22 です。したがって15は、両方の方法で得点できる唯一の合計です。

1点あたりの得点

得点を合計で割ると、パターンが見えてきます。3で割り切れる合計は、3つにつき1点、つまり1点あたり3分の1点を得ます。5で割り切れる合計は、5つにつき1点、つまり1点あたり5分の1点を得ます。15では2つの率が合算されます：

1/3 + 1/5 = 8/15、つまり1点あたり約0.53点。

つまり15は、テーブル上の点数1つあたり、9や18の1.5倍以上を稼ぎ、10や20の2.5倍以上を稼ぎます。

同じ計算によると、同じ合計なら3の倍数のほうが良いタイプです。12は4点、10は2点です。

出現の稀さ

それぞれの合計を作る方法を数えます。ダブルシックスのセットでは、端は0から6の通常の数字か、2回数えるダブル（0から12まで2刻み）を示せます。つまり端の面は14通りです。それらをペアにし、ダブルシックス同士のペアは、ダブルシックスが1つしかないので除外すると、98通りの異なる端のペアが得られます。そして98すべての得点を合計します。

98組のうち48組が得点になり、合計で133点、1組あたり平均約1.36点です。15を作る2組は、そのうち16点の価値があるので、それぞれ平均のおよそ6倍の価値があります。また、15を作る組は全体のわずか2%にすぎず、だからこそ15が出たときは賞品のように感じられるのです。

これらは面の組み合わせの数であって、確率ではありません。何が出されたか、誰が何を持っているかは考慮していません。

15を作る2組

15を作るには、必ず片端にダブルが必要です。通常の端2つでは最大12にしかならないからです。ダブルは偶数でなければならないので、もう一方の端は奇数でなければ奇数の合計になりません。したがって組み合わせはちょうど2組です：

1. ダブルシックス（12点）と通常の3。
2. ダブルファイブ（10点）と通常の5。

15を見抜いて阻止する

ダブルは対応する端に置かなければならないので、15は通常2通りのいずれかで生まれます。

• ダブルを置く。 端が6と3を示していて、ダブルシックスを持っているとします。6の上に置けば、端は12と3になります。同様に、5と5ならダブルファイブです。
• 通常の端を置く。 ダブルシックスがすでに片端に置かれています。もう一方の端に3が残るように置いたタイルは8点になります。露出したダブルファイブに対して5が残るタイルも、同じく8点です。

守りの読み方は、同じ計算を逆に行うものです。タイルを置く前に、残る端のペアを確認してください。6と3、または5と5が残る場合、ダブルシックスやダブルファイブを持っている人は、それを8点に変えることができます。ダブルを自分が持っていれば安全です。持っていない場合、2点か3点を取れてもそのようなペアを残す置き方は、より静かな置き方より価値が低いかもしれません。

露出したダブルでは逆になります。露出したダブルシックスやダブルファイブは、覆われるまで15を誘います。ですから、1つを残す前に、自分の持っている3と5を数えてください。

Valley Railでは、 Fives and Threes Dominoes では、各手の後の開放端の合計と得点が表示されるので、15を見張り、それが8点として得点されるのを確認できます。