Lange Serien: warum viele Steine einer Zahl die Linie kontrollieren

Bei einem Doppel-Sechs-Satz steht jede Zahl, von Blank bis Sechs, auf genau 7 der 28 Steine. Spieler nennen die Steine mit einer Zahl eine Serie, und vier oder fünf davon in einer Hand eine lange Serie. Dieser Beitrag zählt, wie oft man eine davon bekommt und was das für die Steine bedeutet, die der Gegner haben kann, mit einer Hand von 7 Steinen für jeden Spieler. Die allgemeine Methode, herauszufinden, was der Gegner nicht halten kann, steht in Steine zählen.

Sieben Steine je Zahl

Nimm die 3er. Die Steine mit einer 3 sind 3-0, 3-1, 3-2, 3-4, 3-5, 3-6 und der Doppelstein 3-3. Das sind sechs gemischte Steine und ein Doppel, insgesamt sieben, und dieselbe Zählung gilt für jede Zahl. Der Doppelstein ist ein Stein, hat aber zwei 3er-Enden. Jede Zahl zeigt sich daher auf insgesamt 8 Enden (sechs einfache Enden plus zwei auf dem Doppel). Siehe im Doppel-Sechs-Satz für die vollständige Zählung.

Zwei Punkte, die man in allem Folgenden auseinanderhalten muss. Ein Stein mit zwei verschiedenen Zahlen gehört gleichzeitig zu zwei Serien, daher zählt der 3-5 als eine 3 und als eine 5. Und der Doppelstein zählt einmal für seine Serie, egal wie viele Augen er zeigt.

Wie oft du eine lange Serie bekommst

Hier gibt es zwei verschiedene Fragen mit unterschiedlichen Antworten. Die erste betrifft eine bestimmte Zahl, etwa die 5er. Die zweite betrifft irgendeine Zahl.

Für eine bestimmte Zahl ist die Chance, genau k ihrer 7 Steine in einer Hand mit 7 Steinen zu haben, C(7,k) × C(21, 7−k) ÷ C(28,7), wobei C(28,7) = 1,184,040 Hände. Für vier davon sind es 35 × 1,330 = 46,550 Hände, oder 3.9%. Addiert man die Fälle mit fünf, sechs und sieben Steinen hinzu, erreicht eine bestimmte Zahl in 4.3% der Hände vier oder mehr und in 22.0% drei oder mehr.

Bei irgendeiner Zahl ist die Chance viel höher, weil es sieben Zahlen gibt, die man treffen kann. Zählt man jede der 1,184,040 Hände und nimmt die größte Serie jeder Hand, hält eine Hand:

• vier oder mehr einer beliebigen Zahl in 349,356 Händen, das sind 29.5%.
• 5 oder mehr einer beliebigen Zahl in 31,906 Händen, das sind 2.7%.
• drei oder mehr einer beliebigen Zahl in 93.0%, daher ist eine Hand ohne Serie von drei der seltene Fall.

Eine Hand mit sieben Steinen hat 14 Enden, die auf sieben Zahlen verteilt im Schnitt 2 pro Zahl ergeben. Eine Serie von 3 ist also gewöhnlich, eine Serie von 4 taucht in etwa drei von zehn Händen auf, und eine Serie von 5 ist ungewöhnlich.

Was es für den Gegner bedeutet

Angenommen, du hältst k Steine einer Zahl. Die übrigen 7 − k Steine dieser Zahl liegen unter den 21 Steinen, die du nicht siehst: dem Gegner seine 7 und die 14 im Boneyard. Der erwartete Anteil des Gegners ist 7 × (7 − k) ÷ 21 Steine, der mit jedem Stein, den du hältst, um einen Drittel-Stein sinkt. Bei k = 0 sind es 2.33 Steine, bei k = 4 sind es 1.00, und bei k = 6 sind es 0.33.

Wichtiger ist die Chance, keinen zu haben. Zeigt das offene Ende diese Zahl und der Gegner hat keinen Stein dieser Serie, kann er dort nicht anlegen. Er muss das andere Ende nutzen, oder aus dem Boneyard ziehen, bis er kann, oder passen, wenn er leer ist. Die Chance, dass die 7 Steine des Gegners keine der verbleibenden 7 − k ist C(21 − (7−k), 7) ÷ C(21,7):

Bei 4 Steinen ist es besser als eins zu vier, und bei 6 sind es zwei zu drei: Der eine fehlende Stein liegt 7-mal von 21 in der Hand des Gegners, also 14 ÷ 21. Die Zahlen setzen voraus, dass du nur deine eigene Hand kennst. Steine auf der Linie oder bereits gespielte ändern sie nach derselben Methode.

Was eine lange Serie nicht bewirkt

Viele Steine einer Zahl zu halten lässt dich nicht ein Ende auf dieser Zahl halten. Legst du einen Stein an ein Ende mit 3, wird das neue Ende die andere Hälfte des Steins. Legst du die 3-0, wird das Ende 0. Der einzige Stein, der die Zahl unverändert lässt, ist der Doppelstein: Der 3-3 an einem 3er-Ende lässt eine 3 sichtbar, und er zählt beide Augen zur Summe, wie beschrieben in Doppelsteine an einem offenen Ende.

Der Vorteil betrifft also Optionen, nicht Besitz. Mit vier 3ern auf der Hand ist eine 3 an einem der beiden Enden ein Ende, an dem du anlegen kannst, egal wie sie erscheint. Die anderen drei 3er sind die einzigen Steine, die dort jemand anderes nutzen kann. Das ist ein echter, aber bescheidener Vorteil: Der Gegner ist bei vier Steinen in 27.4% der Fälle ausgeschlossen, nicht jedes Mal.

Es gibt auch einen Preis. Steine einer Serie teilen sich eine Zahl, aber ihre anderen Hälften sind alle verschieden: 3-0, 3-1, 3-2, 3-4, 3-5 und 3-6 erreichen sechs getrennte Zahlen. Eine lange Serie gibt dir also viele Wege, eine gewählte Summe zu hinterlassen, was hilft, wenn man auf 15 zielt oder einer großen Antwort ausweicht, wie in blockieren. But four tiles of one number leave only three for everything else, and the hand can run short of plays when the ends move away from that number.

Am Tisch anwenden

• Zähle deine Serien beim Austeilen. Zähle die Enden nach Zahl über deine ganze Hand. Jede Zahl auf 4 oder mehr Steinen ist deine lange Serie.
• Von sieben abziehen. Hältst du 4 einer Zahl, bleiben 3. Liegen 2 weitere auf der Linie, bleibt einer übrig.
• Halte die Zahl deiner langen Serie im Spiel, wann immer du kannst. Diese Zahl an einem Ende ist ein Zug für dich und oft nicht für den Gegner. Sie spart eine Runde, ist aber an sich keine Wertung.
• Beobachte die Ziehungen. Zieht der Gegner, hatte er für keines der beiden Enden einen Stein, also hat er keinen Stein der Zahl eines der beiden Enden.

Alle Zahlen hier gelten für je 7 Steine. Andere Handgrößen ändern sie, und dieselben Formeln gelten.