Quand une voie ferrée rencontre une colline trop raide pour être gravie, l'ingénieur a deux façons de continuer en ligne droite : creuser la colline depuis le haut, ou la percer de l'intérieur. Les deux maintiennent une pente douce. Elles diffèrent par la façon dont le volume de terrassement croît, et cette différence décide de la plupart des choix sur un tracé réel.
Tranchée : la profondeur est au carré
Une tranchée ne peut pas avoir de parois verticales, car le sol meuble glisserait sur la voie. Les côtés sont reculés en pente. Prenons une forme simple et supposée : un fond plat de 8 m de large pour la voie, avec des talus latéraux de 2 m horizontalement pour chaque 1 m de hauteur. For a cutting of depth d la section est un rectangle plus deux triangles :
Aire = 8d + 2d² mètres carrés.
Le premier terme croît proportionnellement à la profondeur. Le second croît avec son carré, et il prend le dessus à mesure que la tranchée s'approfondit. Chaque mètre de longueur multiplie cette aire par un mètre, donc l'aire est aussi le volume de terre à enlever par mètre de tracé.
| Profondeur | Largeur au sommet | Aire par mètre | Sur 100 m |
|---|---|---|---|
| 5 m | 28 m | 90 m² | 9,000 m³ |
| 10 m | 48 m | 280 m² | 28,000 m³ |
| 15 m | 68 m | 570 m² | 57,000 m³ |
| 20 m | 88 m | 960 m² | 96,000 m³ |
Passer de 10 m à 20 m de profondeur ne double pas le travail. Il le multiplie par 960 / 280, soit environ 3.4. Une tranchée peu coûteuse à 5 m devient un projet majeur à 20 m, et elle prend aussi une bande de 88 m de large sur le flanc de la colline.
Tunnel : seule la longueur compte
La section d'un tunnel est fixée par les trains qu'il doit porter, et non par l'épaisseur de colline au-dessus. Supposons un tunnel à double voie de 60 m² excavés. Alors chaque mètre de tunnel représente 60 m³, que la colline au-dessus fasse 5 m ou 100 m d'épaisseur. Un tunnel de 100 m fait 6,000 m³, et un tunnel de 1,000 m fait 60,000 m³ : le volume est proportionnel à la longueur.
Le volume n'est pas le coût
En volume seul, un tunnel l'emporte à presque toute profondeur : 8d + 2d² ne dépasse 60 qu'à environ 3.8 m. Mais un mètre cube de tunnel coûte plus cher. Il se creuse dans le noir, nécessite souvent un revêtement, et les déblais doivent être évacués par le portail. Une tranchée est à ciel ouvert, et ses déblais peuvent souvent servir à construire un remblai tout proche.
Il faut donc inclure un facteur de coût k : un mètre cube de tunnel coûte k fois un mètre cube de tranchée. Le tunnel est moins cher dès que l'aire de la tranchée dépasse 60 × k. Solving 2d² + 8d = 60k donne d = −2 + √(4 + 30k).
| Coût du tunnel par m³ | Aire de tranchée à l'équilibre | Profondeur d'équilibre |
|---|---|---|
| 2 × tranchée | 120 m² | 6.0 m |
| 4 × tranchée | 240 m² | 9.1 m |
| 6 × tranchée | 360 m² | 11.6 m |
Les facteurs 2, 4 et 6 sont des hypothèses choisies pour montrer la tendance, et non des coûts mesurés. Même un tunnel six fois plus cher par mètre cube l'emporte dès que la colline fait environ 12 m de profondeur. À 20 m, un tronçon de 100 m de tranchée représente 96,000 m³ ; le tunnel fait 6,000 m³, et à quatre fois le coût unitaire, cela équivaut à 24,000 m³.
Une vraie colline n'a pas une profondeur constante. La tranchée est la plus profonde au sommet et peu profonde à ses extrémités, donc les ingénieurs combinent souvent les deux : un tunnel sous le sommet, avec des tranchées menant à chaque portail.
Ce que choisirent les premiers bâtisseurs
La Liverpool and Manchester Railway, ouverte en 1830, a traversé du grès à Olive Mount, dans une tranchée d'environ deux miles. La London and Birmingham Railway de Robert Stephenson, ouverte en 1838, a franchi la crête de Chiltern dans la tranchée de Tring, d'environ deux miles et demi, creusée en grande partie à la pioche, à la pelle et à la brouette. Le Great Western de Brunel a pris l'autre voie à Box, près de Bath, où la colline était trop épaisse pour être coupée. Le tunnel de Box, ouvert en 1841, mesure environ 1.8 mile (2.9 km) de long et porte la ligne sur une pente descendante de 1 pour 100, la pente de référence évoquée dans Pourquoi les voies ferrées suivent les rivières. At the time it was the longest railway tunnel in the world.
Ce sont les deux réponses au même problème : une tranchée à Tring et à Olive Mount, où le sol était assez peu profond, et un tunnel à Box, où il ne l'était pas.
Une règle à retenir
Doubler la profondeur d'une tranchée multiplie son volume par quatre au maximum. Doubler la longueur d'un tunnel le multiplie par deux. Pour toute forme et tout coût, il existe une profondeur où les courbes se croisent, et au-delà le tunnel est le passage le moins cher.
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