ブロックパズルが終わるとき、ボードはたいてい埋まっていません。空きマスは多くても役に立たないことがあります。手持ちのどのピースも、その空きマスが置かれた空間には合わないからです。重要なのは空きマスの数ではなく、それらがどう繋がっているかです。この記事は、トラブルの2つの形、穴と島を数えます。
2つの言葉の定義
「 穴 」とは、上下左右の隣のマスがすべて埋まっているか、ボードの端になっている空きマスです。「 島 」とは、辺で繋がった空きマスの集まりで、四方を囲まれているものです。穴とは、1マスだけの島にすぎません。
次の規則は単純で確かめられます:島の n マスに入るピースは、どんなときも n マス以下で、しかも形が合うものだけです。穴に入れられるのは、ちょうど1マスのピースだけで、ほかは入りません。ストレートバー、正方形、L字のような典型的なピースは論外なので、その周囲が消えるまで、そのマスは空きのままです。
空きマスを封鎖するのに必要な隣の数
ボードの端は、その封鎖の一部をただで担ってくれます。角のマスには隣が2つ、端のマス(角ではない)には3つ、内側のマスには4つあります。グリッド全体で数えると合計が合います:角4つ、端28マス(四辺それぞれ7マス)、内側49マスで、計81マスです。
つまり最も安価に作れる穴は角にあるもので、ブロック2つで封鎖されます。端の穴は3つ、内側の穴は4つ必要です。
1つの穴が3つのグループを塞ぐ理由
穴は、失われた1マスというだけではありません。どのマスもそうであるように、行、列、3x3の箱に属しています(数え方は 9x9グリッドについての以前の記事 に書かれています)。そしてその3つのグループは、穴が空いている間はどれも消えることができません。1つの穴は、27個のグループのうち3つを塞ぎます。
でした。一方、 二重消しの計算 には同じ限界があります。空きは、繋がっている場合にしかまとめて埋められません。周囲を囲まれた空きは、常に1マスだけで解決する仕事になります。
ブロックがピースを置ける場所を減らす仕組み
穴が現れる前は、空いた場所が十分にある盤面には余裕があります。空の9x9グリッドでは、バウンディングボックスが h × w マスのピースは、(9 − h + 1) × (9 − w + 1) 通りの位置に置けます。回転できるピースは、各向きの位置を足し合わせます:
| ピース | 向き | 向きごとの置き場所 | 置き場所の合計 |
|---|---|---|---|
| 1マスのブロック(1x1) | 1 | 81 | 81 |
| ドミノ(1x2) | 2 | 72 | 144 |
| 3マスの棒(1x3) | 2 | 63 | 126 |
| 5マスの棒(1x5) | 2 | 45 | 90 |
| 正方形(2x2) | 1 | 64 | 64 |
| 正方形(3x3) | 1 | 49 | 49 |
| 3マスのL字(2x2の箱) | 4 | 64 | 256 |
大きいピースほど置き場所が少なくなります。3x3の正方形は49か所で、開始列7つ×開始行7つです。次に、ボードに1つブロックを置きます。正方形は、そのブロックと重なる場所では置けません。それがどれくらい起こるかは、ブロックの位置によって決まります:
理由は、ある1マスを含む3x3正方形の数です。角のマスは1つの正方形に含まれ、辺のマス(たとえば上段の中央)は3つに含まれ(正方形の行は1段、列は3つ)、中央のマスは 3 × 3 = 9 に含まれます。中央のブロックは、角のブロックの9倍のコストがかかります。
同じ効果は長いピースにも及びます。5マスの棒は90か所に置けます。中央のブロックは、横5つ、縦5つの計10か所を奪い、角のブロックは2か所を奪うだけです。盤面を断片化するのは、中央付近のブロックです。
市松模様:置く場所のない空間
行番号と列番号を足すと奇数になるマスをすべて埋めます。市松模様です。これで埋まったマスは40、空きは41で、盤面の半分以上が空いています。それでも、辺で接している空きマスは2つもありません。ですから、どこにもドミノは入りません。41マスすべてが穴になり、単独のブロックだけが入ります。
そこから導かれる3つの習慣
- 空いた場所は一つにまとめておく。 置く前に、その手が空きを2つに分断するか、空きマスの隣の空きが2つ未満になるかを確認してください。1マスまたは2マスの袋小路を作る新しいブロックは、高くつくタイプです。
- 壁を優先する。 角のブロックは、大きなピースの置き場所を最も少なく減らします。グラフのとおりです。
- 穴は3つの封鎖されたグループとして扱う。 その行、列、箱は、その周囲のものが消えるまで消去できません。穴を残すなら、あなたが組んでいないグループを塞ぐ位置に置いてください。
島の n マスに入るのは n マス以下のピースだけです。穴は1マスを占めます。盤面が埋まったと判断する前に、島を数えてください。
Big Ben Blocksで練習する
Big Ben Blocks: Block Puzzle では、9x9グリッドを使い、行、列、3x3の箱を完成させると空きが生まれます。クラシックとアドベンチャーでは、取り消し、ヒント、回転、爆弾が使えます。デイリーチャレンジとタイムアタックではそれらの補助がオフになっているので、そこにある穴は受け入れるしかありません。時間制限のないクラシックは、上のチェックを練習するのに最も簡単な場所です。
Big Ben Blocks: Block Puzzle では、時間制限なしのクラシックモードか、3分間のタイムアタックを選べます。デイリーチャレンジは英国時間の真夜中に変わります。10のアドベンチャーレベルには、ライン消去とコンボの目標があり、開始ボードとピースの並びは固定です。ブロックには色だけでなく形のシンボルもあります。オフラインでプレイでき、広告やアプリ内課金はなく、獲得したコインに現金価値はありません。