Когда головоломка с блоками заканчивается, доска обычно не заполнена. Пустых клеток может быть много, и всё же они бесполезны, потому что ни одна фигура в руке не помещается в пространство, где они лежат. Важно не сколько клеток пусто, а как они связаны. Эта статья считает две формы проблем: дыры и острова.
Два понятия, определённые
Термин дыра обозначает пустую клетку, у которой соседи сверху, снизу, слева и справа заполнены или являются краем доски. Термин остров обозначает группу пустых клеток, соединённых по сторонам и огороженных со всех сторон. Дыра — это просто остров из одной клетки.
Вытекающее из этого правило простое и проверяемое: остров из n клеток может принять только фигуру из n клеток или меньше, и только ту, форма которой подходит. В дыру помещается фигура ровно из одной клетки, и ничего больше. Типичная фигура вроде прямой линии, квадрата или уголка исключена, поэтому клетка остаётся пустой, пока что-то вокруг не очистится.
Сколько соседей нужно, чтобы запечатать клетку
Край доски запечатывает часть клеток бесплатно. Угловая клетка имеет 2 соседа, клетка на краю, но не в углу, имеет 3, а внутренняя клетка — 4. Если пересчитать по сетке, они складываются: 4 угла, 28 краевых клеток (по 7 на каждой из четырёх сторон) и 49 внутренних клеток дают 81.
Поэтому самая дешёвая дыра — угловая, её запечатывают два блока. Краевая дыра требует трёх, а внутренняя — четырёх.
Почему одна дыра стоит трёх групп
Дыра — это не только потерянная клетка. Она лежит в строке, столбце и блоке 3x3, как и любая клетка ( предыдущая запись о сетке 9x9 см. статью о подсчёте), и ни одна из этих трёх групп не очистится, пока дыра пуста. Одна дыра блокирует 3 из 27 групп.
Противоположный пример — арифметика двойной очистки имеет то же ограничение: пустоты можно заполнить вместе, только если они связаны. Огороженный пробел всегда требует одной клетки.
Как блок уменьшает места, куда может встать фигура
До появления дыр доска с большим количеством свободного места щедра. На пустой сетке 9x9 фигуру с габаритным прямоугольником h размером w клеток можно разместить на (9 − h + 1) × (9 − w + 1) позициях. Фигуру, которую можно повернуть, считают с учётом каждой ориентации:
| Фигура | Ориентации | Мест на ориентацию | Всего мест |
|---|---|---|---|
| Одиночный блок (1x1) | 1 | 81 | 81 |
| Домино (1x2) | 2 | 72 | 144 |
| Линия из трёх (1x3) | 2 | 63 | 126 |
| Линия из пяти (1x5) | 2 | 45 | 90 |
| Квадрат (2x2) | 1 | 64 | 64 |
| Квадрат (3x3) | 1 | 49 | 49 |
| Уголок из трёх клеток (в коробке 2x2) | 4 | 64 | 256 |
У более крупных фигур мест меньше: у квадрата 3x3 их 49, семь стартовых столбцов на семь стартовых строк. Теперь поставим один блок на доску. Квадрат заблокирован там, где перекрывается с этим блоком, и то, как часто это происходит, зависит от места блока:
Причина — в количестве квадратов 3x3, включающих данную клетку. Угловая клетка входит в 1 такой квадрат, клетка края, например середина верхней строки, входит в 3 (один ряд квадратов, три столбца), а центральная клетка входит в 3 × 3 = 9. Центральный блок стоит в девять раз дороже углового.
Тот же эффект касается длинных фигур. У линии из пяти есть 90 мест; центральный блок убирает 10 из них, пять горизонтальных и пять вертикальных, а угловой — 2. Именно блоки ближе к середине дробят доску.
Шахматная доска: место без возможности использовать
Заполните все клетки, у которых сумма номеров строки и столбца нечётна, — получится шахматный узор. Это 40 заполненных клеток и 41 пустая, больше половины доски. Однако никакие две пустые клетки не касаются друг друга по стороне, поэтому домино нигде не помещается. Все 41 — дыры, и туда могут встать только одиночные блоки.
Три привычки, которые из этого следуют
- Держите свободное место единым куском. Перед ходом спрашивайте себя, делит ли ход пустую область на две части или оставляет клетку с менее чем двумя пустыми соседями. Новый блок, который создаёт карман в 1 или 2 клетки, — самый дорогой тип.
- Предпочитайте стену. Блок в углу убирает меньше всего мест для крупной фигуры, как показано на диаграмме.
- Считайте дыру тремя заблокированными группами. Её строка, столбец и блок не очистятся, пока что-то вокруг них не очистится. Если дыра останется, поставьте её туда, где она блокирует группы, которые вы не собираете.
Остров из n клеток принимает только фигуры из n клеток или меньше. Дыра принимает одну клетку. Посчитайте остров, прежде чем решать, что доска заполнена.
Тренировка в Big Ben Blocks
Big Ben Blocks: Block Puzzle использует сетку 9x9, где заполнение строк, столбцов или блоков 3x3 освобождает место. В Classic и Adventure можно пользоваться отменой хода, подсказками, поворотом и бомбой, а Daily Challenge и Time Attack эти подсказки отключают, поэтому дыра там — дыра, с которой приходится жить. Untimed Classic — самое удобное место, чтобы тренировать проверки выше.
Big Ben Blocks: Block Puzzle предлагает режим Classic без таймера или трёхминутный Time Attack, а Daily Challenge обновляется в полночь по времени в Великобритании. В десяти уровнях Adventure цели — очистка линий и комбо, а стартовое поле и последовательность фигур фиксированы. На блоках есть символы фигур, а не только цвета. Работает офлайн, без рекламы и покупок в приложении; заработанные монеты не имеют денежной стоимости.