Cuando una vía férrea se encuentra con una colina demasiado empinada para subirla, el ingeniero tiene dos maneras de seguir en línea recta: excavar la colina desde arriba, quitándola, o atravesarla desde dentro. Ambas mantienen la pendiente suave. Se diferencian en cómo crece la cantidad de excavación, y esa diferencia decide la mayoría de las elecciones en una ruta real.
Desmonte: la profundidad se eleva al cuadrado
Un desmonte no puede tener paredes verticales, porque el terreno suelto caería sobre la vía. Los lados se retiran en pendiente. Tomemos una forma sencilla y supuesta: un piso plano 8 m de ancho para la vía, y taludes laterales de 2 m de ancho por cada 1 m de altura. For a cutting of depth d la sección transversal es un rectángulo más dos triángulos:
Área = 8d + 2d² metros cuadrados.
El primer término crece en proporción a la profundidad. El segundo crece con su cuadrado, y se impone a medida que el desmonte se profundiza. Cada metro de longitud multiplica esa superficie por un metro, así que el área también es el volumen de tierra que hay que retirar por metro de línea.
| Profundidad | Ancho superior | Área por metro | En 100 m |
|---|---|---|---|
| 5 m | 28 m | 90 m² | 9,000 m³ |
| 10 m | 48 m | 280 m² | 28,000 m³ |
| 15 m | 68 m | 570 m² | 57,000 m³ |
| 20 m | 88 m | 960 m² | 96,000 m³ |
Pasar de 10 m a 20 m de profundidad no duplica el trabajo. Lo multiplica por 960 / 280, unos 3.4. Un desmonte que era barato a 5 m se convierte en un proyecto importante a 20 m, y además se lleva de la ladera una franja de 88 m de ancho.
Túnel: solo cuenta la longitud
La sección transversal de un túnel la fijan los trenes que debe transportar, no cuánta colina hay encima. Supongamos una perforación de doble vía de 60 m² excavada. Entonces cada metro de túnel son 60 m³, tanto si la colina encima tiene 5 m de espesor como 100 m. Un túnel de 100 m son 6,000 m³, y uno de 1,000 m son 60,000 m³: el volumen es lineal con la longitud.
El volumen no es el coste
Solo por volumen, un túnel gana a casi cualquier profundidad: 8d + 2d² supera 60 a solo unos 3.8 m. Pero un metro cúbico de túnel cuesta más. Se excava a oscuras, normalmente necesita revestimiento, y la tierra extraída debe sacarse por la boca. Un desmonte está al aire libre, y su material sobrante suele servir para construir un terraplén cercano.
Así que incluye un factor de coste k: un metro cúbico de túnel cuesta k veces lo que cuesta un metro cúbico de desmonte. El túnel resulta más barato cuando el área del desmonte supera 60 × k. Solving 2d² + 8d = 60k da d = −2 + √(4 + 30k).
| Coste del túnel por m³ | Área del desmonte en el equilibrio | Profundidad de equilibrio |
|---|---|---|
| 2 × desmonte | 120 m² | 6.0 m |
| 4 × desmonte | 240 m² | 9.1 m |
| 6 × desmonte | 360 m² | 11.6 m |
Los factores 2, 4 y 6 son supuestos elegidos para mostrar el patrón, no costes medidos. Incluso un túnel que cuesta seis veces más por metro cúbico gana una vez que la colina tiene unos 12 m de profundidad. A 20 m, un tramo de desmonte de 100 m son 96,000 m³; el túnel son 6,000 m³, y con cuatro veces el coste unitario eso equivale a 24,000 m³.
Una colina real no tiene una profundidad constante. El desmonte es más profundo en la cima y poco profundo en sus extremos, así que los ingenieros suelen combinar ambos: un túnel bajo la cumbre, con desmontes que llevan a cada boca.
Lo que eligieron los primeros constructores
La Liverpool and Manchester Railway, inaugurada en 1830, atravesó arenisca en Olive Mount, un desmonte de unas dos millas. La London and Birmingham Railway de Robert Stephenson, inaugurada en 1838, cruzó la cresta de Chiltern en el desmonte de Tring, de unas dos millas y media, excavado en gran parte con picos, palas y carretillas. El Great Western de Brunel tomó el camino contrario en Box, cerca de Bath, donde la colina era demasiado gruesa para cortarla. El túnel de Box se inauguró en 1841, mide unas 1.8 millas (2.9 km) y lleva la línea con una pendiente descendente de 1 en 100, la pendiente máxima tratada en Por qué los ferrocarriles siguen los ríos. At the time it was the longest railway tunnel in the world.
Estas fueron las dos respuestas al mismo problema: un desmonte en Tring y Olive Mount donde el terreno era lo bastante poco profundo, y un túnel en Box donde no lo era.
Una regla para llevarte
Duplicar la profundidad de un desmonte multiplica su volumen hasta por cuatro. Duplicar la longitud de un túnel lo multiplica por dos. Para cualquier forma y factor de coste hay una profundidad donde se cruzan las líneas, y a partir de ella el túnel es la forma más barata de atravesar.
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