Туннель или выемка: как инженеры проводят линию через холм

Когда железная дорога встречает холм, слишком крутой для подъёма, у инженера есть два способа пойти прямо: срыть холм сверху или прорыть его насквозь. Оба варианта сохраняют пологий уклон. Они отличаются тем, как растёт объём работ, и эта разница определяет большинство решений на реальном маршруте.

Выемка: глубина возводится в квадрат

Выемка не может иметь вертикальных стенок, потому что рыхлый грунт сполз бы на путь. Бока срезаются под откосом. Возьмём простую, допущенную форму: плоское дно 8 м шириной под путь, с откосами бортов 2 м по горизонтали на каждый 1 м высоты. For a cutting of depth d сечение — это прямоугольник и два треугольника:

Площадь = 8d + 2d² квадратных метров.

Первый член растёт пропорционально глубине. Второй растёт с её квадратом и берёт верх по мере углубления выемки. Каждый метр длины умножает эту площадь на метр, поэтому площадь также равна объёму грунта, который нужно вынуть на метр линии.

Переход от 10 м до 20 м глубины не удваивает работу, а умножает её на 960 / 280, примерно на 3.4. Выемка, которая была дешёвой на 5 м, становится крупным проектом на 20 м, и к тому же она забирает полосу шириной 88 м из склона холма.

Туннель: важна только длина

Сечение туннеля задаётся поездами, которые он должен пропускать, а не тем, сколько холма над ним. Допустим, двухпутная выработка сечением 60 м² вынутого грунта. Тогда каждый метр туннеля — это 60 м³, независимо от того, толщина холма над ним 5 м или 100 м. Туннель 100 м — это 6,000 м³, а туннель 1,000 м — 60,000 м³: объём линеен по длине.

Объём — не стоимость

По одному только объёму туннель выигрывает почти на любой глубине: 8d + 2d² превышает 60 лишь при примерно 3.8 м. Но кубометр из туннеля стоит дороже. Его копают в темноте, обычно нужна обделка, а грунт приходится вывозить через портал. Выемка открыта небу, и её грунт часто можно пустить на насыпь поблизости.

Поэтому включите коэффициент стоимости k: кубометр туннеля стоит k раз больше, чем кубометр выемки. Туннель становится дешевле, когда площадь выемки превышает 60 × k. Solving 2d² + 8d = 60k даёт d = −2 + √(4 + 30k).

Коэффициенты 2, 4 и 6 — это допущения, выбранные, чтобы показать закономерность, а не измеренные затраты. Даже туннель, который стоит в шесть раз дороже за кубометр, выигрывает, когда холм около 12 м глубиной. На глубине 20 м участок выемки в 100 м — это 96,000 м³; туннель — 6,000 м³, а при четырёхкратной удельной стоимости это эквивалентно 24,000 м³.

Что выбирали ранние строители

Ливерпульско-Манчестерская железная дорога, открытая в 1830 году, прорезала песчаник в Олив-Маунт выемкой около двух миль. Лондонско-Бирмингемская железная дорога Роберта Стефенсона, открытая в 1838 году, взяла гряду Чилтерн в Трингской выемке длиной около двух с половиной миль, выкопанной в основном кирками, лопатами и тачками. Great Western Брюнеля пошла иначе — в Боксе, близ Бата, где холм был слишком толстым, чтобы его резать. Бокстоннель открыт в 1841 году, имеет длину около 1.8 мили (2.9 км) и несёт линию на спуске 1 к 100 — руководящий уклон, о котором речь в Почему железные дороги идут вдоль рек. At the time it was the longest railway tunnel in the world.

Это были два ответа на одну и ту же задачу: выемка в Тринге и Олив-Маунт, где грунт был достаточно мелким, и туннель в Боксе, где он не был таким.

Правило, которое стоит запомнить

Удвоение глубины выемки увеличивает её объём максимум в четыре раза. Удвоение длины туннеля увеличивает его в два раза. Для любой формы и коэффициента стоимости есть глубина, где линии пересекаются, и за ней туннель оказывается более дешёвым способом пройти.

В Valley Rail: Train Tycoon вы прокладываете путь от города к городу и переходите реку по мосту одного из пяти типов. О конструктивной стороне таких переходов см. Как железнодорожные мосты несут нагрузку.