トンネルか切割か：技術者が丘に線路を通す方法

線路が、まっすぐ登るには急すぎる丘に突き当たると、技術者が直進する方法は2つあります。丘を頂上から削り取るか、内側から掘り抜くかです。どちらも勾配を緩やかに保ちます。違いは掘削量がどう増えるかにあり、その違いが実際の路線での選択の大半を決めます。

切割：深さは2乗

切割の壁を垂直にすることはできません。ゆるい地盤が線路に滑り落ちてしまうからです。斜面は後ろに削って傾斜をつけます。単純な仮定の形を考えましょう：平らな底面の幅 8 m は線路用の幅で、側面の勾配は 高さ1 mごとに水平2 m. For a cutting of depth d 断面は長方形と2つの三角形からなります：

面積 = 8d + 2d² 平方メートル。

第1項は深さに比例して増えます。第2項は深さの2乗で増え、切割が深くなるにつれてそちらが支配的になります。線路1 mあたりの面積は、その1 mあたりに掘り出す土の体積でもあります。

深さを10 mから20 mに増やしても、作業量は2倍にはなりません。960 / 280 で、約3.4倍になります。5 mでは安価だった切割も、20 mになると大規模な工事になり、さらに丘の斜面から幅88 mの帯を切り取ることになります。

トンネル：重要なのは長さだけ

トンネルの断面は、その上にある丘の厚さではなく、運ぶ列車によって決まります。複線のトンネルを想定します。掘削面積は 60 m² を掘削するとします。そのとき、上の丘が5 mでも100 mでも、トンネルの1 mごとに60 m³です。100 mのトンネルは6,000 m³、1,000 mのトンネルは60,000 m³になります。体積は長さに比例します。

体積はコストではない

体積だけで見れば、トンネルはほぼどの深さでも有利です。8d + 2d² が60を超えるのは、深さ約3.8 mのときだけです。しかし、トンネルの1立方メートルはより高くつきます。暗闇で掘られ、通常は覆工が必要で、掘り出した土はポータルを通って運び出さなければなりません。切割は空の下にあり、掘り出した土を近くの盛土に使えることが多いです。

だから、コスト係数を含めましょう k：トンネル1立方メートルの費用は k 倍です。トンネルは、切割の断面積が 60 × k. Solving 2d² + 8d = 60k を超えると安くなります。これを解くと d = −2 + √(4 + 30k).

係数2、4、6は、傾向を示すために選んだ仮定であり、実測された費用ではありません。1立方メートルあたりの費用が6倍のトンネルでも、丘の深さが約12 mになるとトンネルが有利になります。20 mでは、100 mの切割区間が96,000 m³です。トンネルは6,000 m³で、単価が4倍なら、それは24,000 m³に相当します。

初期の建設者たちの選択

1830年に開通したリバプール・アンド・マンチェスター鉄道は、オリーブ・マウントで砂岩を切り割りました。約2マイルの切割です。ロバート・スティーブンソンの1838年開通のロンドン・アンド・バーミンガム鉄道は、チルターン山稜をトリングの切割で越えました。約2.5マイルの長さで、主にツルハシ、シャベル、手押し車で掘られました。ブルネルのグレート・ウェスタン鉄道は、バース近くのボックスで逆の方法を取りました。丘が厚すぎて切り通せなかったからです。ボックス・トンネルは1841年に開通し、長さ約1.8マイル（2.9 km）で、線路を1 in 100の下り勾配で通しています。この支配勾配については、 鉄道が川に沿う理由. At the time it was the longest railway tunnel in the world.

これらは同じ問題に対する2つの答えでした。地盤が十分に浅かったトリングとオリーブ・マウントでは切割を、浅くなかったボックスではトンネルを選びました。

覚えておくべきルール

切割の深さを2倍にすると体積は最大4倍になります。トンネルの長さを2倍にすると体積は2倍です。どんな形状や費用係数であっても、両者が交わる深さがあり、それを超えるとトンネルの方が安く通り抜けられる方法になります。

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