Готовые руки: как часто пяти картам не нужна замена

В дро-покере первый вопрос о руке — какие карты оставить. Для небольшой группы рук ответ — все. Их называют готовыми руками, и их точное число — это короткий подсчёт по стандартной таблице пятикарточных рук.

Что значит «готовая рука»

Готовая рука — это рука, в которой все пять карт участвуют в собранной комбинации, поэтому замена любой карты может только ухудшить её или оставить без изменений. На практике это значит стрит или сильнее: стрит, флеш, фулл-хаус, каре или стрит-флеш (роял-флеш — самый высокий стрит-флеш). Сет, две пары и одна пара не являются готовыми, потому что оставляют без дела две, одну или три карты. Именно эти лишние карты обычно и меняют.

Этим словом пользуются вольно. Некоторые игроки называют «готовой» любую руку, которую не станут ломать, а в некоторых играх определённый стрит или флеш стоит сломать ради более сильного дро. В этой записи используется простое определение: стрит или сильнее, ничего не менять.

Подсчёт готовых рук

Стандартная колода из 52 карт даёт C(52, 5) = 2,598,960 различных пятикарточных рук, все равновероятны. У каждой категории готовых рук свой короткий подсчёт:

• Стрит-флеш (40): десять возможных стартовых рангов, от туза-низкого до туза-высокого, умножить на четыре масти. Из них 36 — обычные стрит-флеши, а 4 — роял-флеши.
• Каре (624): 13 рангов для четырёх карт, затем любая из оставшихся 48 карт: 13 × 48.
• Фулл-хаус (3,744): 13 рангов и 4 способа выбрать из них три карты, затем 12 рангов и 6 способов выбрать пару: 13 × 4 × 12 × 6.
• Флеш (5,108): четыре масти умножить на C(13, 5) = 1,287 наборов рангов — это 5,148, минус 40 стрит-флешей.
• Стрит (10,200): десять стартовых рангов, каждая карта в одной из четырёх мастей, — это 10 × 4⁵ = 10,240, минус те же 40 стрит-флешей.

Сложим: 10,200 + 5,108 + 3,744 + 624 + 36 + 4 = 19,716. Divide by 2,598,960 and the share is 0.76% (0.759% с точностью до трёх знаков). Иначе говоря, примерно одна раздача из 132 — готовая, так как 2,598,960 ÷ 19,716 равно 131.8. Остальные 2,579,244 руки, то есть 99.24% всех раздач, содержат хотя бы одну карту, которую разумно поменять.

Откуда берутся 19,716

Состав неравномерный. Стриты и флеши дают 15,308 из 19,716, то есть 77.6%. Остальное — немного:

Одни стриты превосходят по числу все остальные четыре категории вместе (10,200 против 9,516). Фулл-хаус или сильнее — всего 4,408 рук, или 0.17%: примерно одна раздача из 590. Этот порядок объясняет, почему флеш бьёт стрит, что Почему флеш бьёт стрит разобрано полностью.

Остальные раздачи

Если разделить каждую раздачу по тому, что с ней делать, появятся три группы:

1. Старшая карта, 1,302,540 рук (50.12%). Ни пары, ни стрита, ни флеша. Вы ищете дро или начинаете с нуля.
2. Пара, две пары или сет, 1,276,704 руки (49.12%). Собранные руки с лишними картами. Это обычные решения о замене.
3. Готовые, 19,716 рук (0.76%). Ничего не менять.

Три числа в сумме дают 2,598,960. Для средней группы Шансы улучшить пару при замене карт разбирает, чего стоит замена.

Сколько ждать

Шанс 1 из 132 не означает одну раздачу каждые 132 руки. Считайте каждую раздачу независимой, с вероятностью готовой руки p = 19,716 ÷ 2,598,960 = 0.759%, и вероятность хотя бы одной готовой руки в n раздачах равна 1 − (1 − p)ⁿ:

• В 50 раздачах: 31.7%.
• В 100 раздачах: 53.3%.
• В 132 раздачах: 63.4%, а не 100%.
• В 500 раздачах: 97.8%.

Поэтому вечер из 100 рук лишь немного лучше броска монеты, чтобы получить хотя бы одну готовую руку, а две или три за короткий промежуток так же обычны, как ни одной.

Где это сходится с Poker vs Dealer

В Poker vs Dealer: Offline ваши пять карт соревнуются с дилером и за банк стола. В описании в магазине сказано, что можно держать руку, заплатить анте, чтобы «выковать» карту, заменив её новой, или выйти и вернуть половину вложенных фишек. Готовая рука — самый очевидный случай для того, чтобы держать, потому что нет карты, которую стоило бы платить за замену. В описании также сказано, что в игре используются собственные правила для пятикарточной игры и есть экран правил и выплат внутри игры, поэтому там проверьте, как ранжируются и выплачиваются руки. Подсчёты выше — стандартная математика пятикарточной раздачи, а не утверждение о том, как часто приложение раздаёт такие руки.

Полезный вывод — пропорция. Поскольку готовая раздача примерно одна из 132, почти каждая рука — это решение, а практика, которая стоит того, — в остальных 99.24%.