Почему флеш бьёт стрит: ранжирование следует за шансами

Флеш бьёт стрит, потому что флеш труднее получить на раздаче. Это всё правило, и оно работает по всему списку: в пятикарточном покере каждая категория выше тех, которые легче собрать. Порядок не произволен, и его можно воссоздать карандашом и несколькими умножениями.

Две руки бок о бок

Начнём с того, что нужно каждой руке. Для стрита — это пять карт по порядку, например 5-6-7-8-9, любых мастей. Комбинация флеш — это пять карт одной масти, любых рангов. Обе начинаются с 1 287 способов выбрать пять разных рангов из тринадцати (это 13 × 12 × 11 × 10 × 9, делённое на 5 × 4 × 3 × 2 × 1).

Десять из этих 1 287 рисунков рангов — последовательности, от туза-низкого (A-2-3-4-5) до туза-высокого (10-J-Q-K-A). Остаётся 1 277, которые не являются последовательностями.

• Стрит: 10 последовательностей, и каждая карта может быть любой из четырёх мастей. Это 4⁵ = 1 024 рисунка мастей, но 4 из них — все одна масть, что даёт стрит-флеш. Так 10 × 1 020 = 10,200 стриты.
• Флеш: 1 277 рисунков рангов без последовательности в каждой из четырёх мастей: 1 277 × 4 = 5,108 флешей. 10 последовательностей в одной масти — это стрит-флеши, поэтому они исключены.

Отношение 10 200 к 5 108, или 1.997 к одному. Иначе говоря, пять случайно сданных карт с примерно одинаковой вероятностью составят стрит, как два флеша. Из 2 598 960 возможных рук флеш выпадает примерно раз в 509 раздач, а стрит — раз в 255.

Почему множитель почти точно равен двум

Две руки требуют разного. Стрит требует рисунка из рангов и не учитывает масти: подходят 1 020 из 1 024 рисунков мастей. Флеш требует рисунка из мастей, и подойдут только 4 из 1 024 рисунков мастей. Но флеш принимает любой из 1 277 рисунков рангов, тогда как стрит — только 10.

Сравним напрямую. У флеша 1 277 × 4 = 5 108 комбинаций, у стрита 10 × 1 020 = 10 200. Почти в 128 раз больше рисунков рангов, но примерно в 255 раз меньше рисунков мастей, и два эффекта почти сокращаются, оставляя множитель два. Почти совпадение — случайность 52-карточной колоды с 13 рангами и 4 мастями, а не замысел.

Полные счётчики по каждой категории — в Насколько редка каждая пятикарточная комбинация. This post is about what they mean for the order.

Каждая ступень следует одному правилу

Вот девять стандартных категорий от стрит-флеша до старшей карты с количеством рук в каждой. Флеш-рояль учтён внутри строки стрит-флеша.

Счётчики растут на каждом шаге без исключений. Это свойство делает ранжирование справедливым: если бы низкая рука была реже высокой, появилась бы рука, которая проигрывает тому, что вам раздают чаще. Размеры шагов, однако, сильно различаются. Разрыв между флешем и фулл-хаусом мал — в 1.36 раза, тогда как одна пара встречается почти в девять раз чаще двух пар.

Проверка утверждения в меньшем масштабе

Большим суммам можно не доверять. Аргумент о мастях можно проверить отдельно. Есть 4 × 1 287 = 5 148 способов выбрать пять карт одной масти. Из них по 10 на каждую масть — это последовательности, так что 40 — стрит-флеши, а 5 148 − 40 = 5 108 флешей. Аналогично со стритами: 10 × 1 024 = 10 240 рук с рангами по порядку, и 10 240 − 40 = 10 200 стритов. 40 стрит-флешей попадают в оба списка, поэтому они стоят в верхней части ранжирования: они должны быть и тем, и другим одновременно.

Тот же довод объясняет, почему стрит-флеш выше каре, хотя 624 гораздо больше 40. Быть в верхней строке означает быть самой редкой рукой, а не самой ценной на вид.

Что порядок говорит в игре

Из этого следуют два практических вывода. Во-первых, собранный стрит — не слабая рука, а просто распространённая: он сдаётся примерно в 0.39% раздач, против 0.20% для флеша, и оба намного реже тройки, которая выпадает в 2.11%. Во-вторых, разрыв между фулл-хаусом и флешем — самый узкий в верхней половине ранжирования, всего в 1.36 раза, но порядок всё равно сохраняется: 3 744 фулл-хауса против 5 108 флешей ставят фулл-хаус выше.

Poker vs Dealer построен на собственных пятикарточных правилах и прямо говорит, что это не Texas Hold'em. Точные правила ранжирования и выплат объясняются в экране «Правила игры и выплаты». Математика выше — это стандартный пятикарточный покер, и она описывает редкость каждой руки, а не правила приложения.