Im Doppel-Sechs-Satz: 28 Steine und 168 Augen

Jede Punktzahl bei Fives and Threes entsteht durch das Addieren von Augen, daher hilft es zu wissen, wie viele Augen es gibt und wo sie liegen. Ein Doppel-Sechs-Satz hat eine feste Form. Er hat 28 Steine, insgesamt 168 Augen, und du kannst jede Zahl unten aus einer Regel herleiten: Ein Stein ist ein Zahlenpaar von 0 bis 6, und jedes Paar kommt genau einmal vor.

Woher die 28 kommt

Ein Stein hat zwei Hälften, und jede Hälfte zeigt eine Zahl von 0 (leer) bis 6. Teile die Steine in zwei Arten.

• Pasch haben auf beiden Hälften dieselbe Zahl: 0-0, 1-1 und so weiter bis 6-6. Das sind 7 Pasch-Steine.
• Normale Steine haben zwei verschiedene Zahlen. Wählt man zwei verschiedene Zahlen aus sieben, ergibt das 7 × 6 ÷ 2 = 21, denn 7 × 6 zählt jedes Paar zweimal (4-6 und 6-4 sind derselbe Stein).

Zusammen sind das 7 + 21 = 28 Steine. Zwischen ihnen gibt es 56 Hälften, da jeder Stein zwei hat.

Woher die 168 kommt

Addiert man die Augen eines Steins, erhält man seine Summe. Die Pasch-Steine haben die Summen 0, 2, 4, 6, 8, 10 und 12, was zusammen 42 ergibt. Die 21 normalen Steine tragen den Rest. Für den ganzen Satz gibt es eine Abkürzung.

Jede Zahl erscheint auf 8 Hälften: Die 6 normalen Steine, die sie tragen, zeigen sie je einmal, und ihr Pasch zeigt sie zweimal, also 6 + 2 = 8. Eine Zahl n steuert daher 8 × n Augen bei, und die sieben Zahlen ergeben 8 × (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 8 × 21 = 168. Two checks agree. The plain tiles hold 168 − 42 = 126 spots, which is 6 per tile on average, and the 56 halves average 3 spots each, giving 56 × 3 = 168.

Derselbe Durchschnitt gibt ein schnelles Gefühl für eine Hand. Die 28 Steine haben im Schnitt 168 ÷ 28 = 6 Augen, daher hat eine Hand mit sieben Steinen langfristig etwa 42 Augen. Eine einzelne Hand wird davon abweichen, aber eine Hand weit darüber ist schwer an hohen Zahlen, und eine weit darunter ist leicht.

Sieben Steine, acht Enden

Das ist die Zählung, die beim Zählen der Steine in Fives and Threes verwendet, um zu ermitteln, was ein Gegner nicht halten kann. Jede Zahl steckt auf 7 Steinen, erscheint aber auf 8 Hälften, weil der Pasch sie zweimal trägt. Die beiden Werte sind leicht zu verwechseln, daher halte sie auseinander:

• Wenn du Steine zählst, die eine Zahl tragen, ist die Antwort für jede Zahl 7.
• Wenn du Augen oder Hälften zählst, ist die Antwort für jede Zahl 8.

Auch die Linie spielt hier eine Rolle. Bei Fives and Threes Dominoes zählt ein Pasch an einem offenen Ende beide seine Augen, daher ist eine 4-4 am Ende 8 für die Summe wert, nicht 4. Das ist die 8-Hälften-Regel, von der Tabelle aus gesehen: Der Pasch ist der eine Stein, der das Gewicht einer Zahl doppelt auf ein einziges Ende legt.

Wie viele Steine jede Summe zeigen

Nun sortiere die 28 Steine nach Summe. Eine Summe von 0 bis 12 entsteht aus Paaren, die sie ergeben, wobei die kleinere Zahl zuerst steht, damit jeder Stein nur einmal gezählt wird.

• Summe 0: 0-0 (1 Stein).
• Summe 1: 0-1 (1).
• Summe 2: 0-2, 1-1 (2).
• Summe 3: 0-3, 1-2 (2).
• Summe 4: 0-4, 1-3, 2-2 (3).
• Summe 5: 0-5, 1-4, 2-3 (3).
• Summe 6: 0-6, 1-5, 2-4, 3-3 (4).
• Summe 7: 1-6, 2-5, 3-4 (3).
• Summe 8: 2-6, 3-5, 4-4 (3).
• Summe 9: 3-6, 4-5 (2).
• Summe 10: 4-6, 5-5 (2).
• Summe 11: 5-6 (1).
• Summe 12: 6-6 (1).

Die Anzahlen lauten 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1. Sie ergeben zusammen 28, und wenn man jede Summe mit ihrer Anzahl gewichtet (0×1 + 1×1 + 2×2 + … + 12×1), kommt 168 heraus, die Liste und die Augenzahl stimmen also überein. Das Muster ist spiegelsymmetrisch: Ersetzt man jede Zahl n eines Steins durch 6 − n, wird eine Summe s zu 12 − s, sodass die Anzahl für 5 gleich der für 7 ist und die ganze Reihe um 6 symmetrisch ist.

Warum die Form wichtig ist

Oben werden nur die Steinsummen gezählt; im Spiel hängt die Punktzahl von den beiden offenen Enden, die einzelne Hälften sind, und ein Pasch an einem Ende zählt beide Augen. Dennoch prägt der Aufbau des Satzes, was du siehst.

• Mittlere Summen sind reichlich vorhanden. Zehn Steine haben eine Summe von 5, 6 oder 7 (3 + 4 + 3), gegenüber zwei Steinen bei 0 oder 1. Ein gezogener Stein ist daher weit eher ein mittlerer als ein sehr leichter oder sehr schwerer.
• Extreme sind selten. Nur 6-6 erreicht 12, und nur 0-0 ist ein leeres Paar. Du siehst im Nu, ob einer davon fehlt.
• Der Boneyard ist kleiner, als man denkt. Die App lässt dich 6, 7, 8 oder 9 Steine je Spieler wählen. Bei zwei Spielern werden damit 12, 14, 16 oder 18 Steine aus 28 genommen, sodass 16, 14, 12 oder 10 zum Ziehen übrig bleiben.

Um Summen in Punkte umzurechnen, brauchst du noch die Regel für Vielfache von drei und fünf, dargelegt in wie die Wertung bei Fives and Threes funktioniert. The set is the stock you are scoring from, and knowing it exactly is what makes counting possible: 28 tiles, 7 doubles, 21 plain tiles, 168 spots, 7 tiles and 8 halves for every number.