Внутри дубль-шестёрки: 28 костей и 168 очков

Каждый счёт в Fives and Threes складывается из очков, поэтому полезно знать, сколько очков существует и где они стоят. Дубль-шестёрка имеет фиксированную структуру. В ней 28 костей, всего 168 очков, и любую цифру ниже можно восстановить по одному правилу: кость — это пара чисел от 0 до 6, и каждая пара встречается один раз.

Откуда берётся 28

У кости две половинки, и на каждой показано число от 0 (пусто) до 6. Разделим кости на два вида.

• Дубли имеют одно и то же число на обеих половинках: 0-0, 1-1 и так далее до 6-6. Это 7 дублей.
• Обычные кости имеют два разных числа. Выбрав два разных числа из семи, получаем 7 × 6 ÷ 2 = 21, потому что 7 × 6 считает каждую пару дважды (4-6 и 6-4 — одна и та же кость).

Всего это 7 + 21 = 28 костей. Вместе у них 56 половинок, так как у каждой кости две.

Откуда берутся 168

Сложите очки на кости — получите её сумму. У дублей суммы 0, 2, 4, 6, 8, 10 и 12, и в сумме они дают 42. Остальное приходится на 21 обычную кость. Есть короткий путь для всего набора.

Каждое число встречается на 8 половинках: 6 обычных костей с ним показывают его по одному разу, а его дубль показывает его дважды, так что 6 + 2 = 8. Число n, таким образом, даёт 8 × n очков, и семь чисел дают 8 × (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 8 × 21 = 168. Two checks agree. The plain tiles hold 168 − 42 = 126 spots, which is 6 per tile on average, and the 56 halves average 3 spots each, giving 56 × 3 = 168.

Такое же среднее даёт быстрое представление о руке. В 28 костях в среднем 168 ÷ 28 = 6 очков, так что рука из семи костей в среднем держит около 42 очков. Любая конкретная рука будет отличаться, но рука сильно выше этого полна старших чисел, а сильно ниже — лёгкая.

Семь костей, восемь концов

Это тот подсчёт, который подсчёт костей в Fives and Threes использует, чтобы вычислить, чего соперник не может держать. Каждое число есть на 7 костях, но показано на 8 половинках, потому что дубль несёт его дважды. Эти две цифры легко спутать, поэтому держите их отдельно:

• Когда вы считаете кости с данным числом, ответ — 7 для каждого числа.
• Когда вы считаете очки или половинки, ответ — 8 для каждого числа.

Здесь важен и конец линии. В Fives and Threes Dominoes дубль на открытом конце считается дважды: 4-4 на конце даёт 8 к сумме, а не 4. Это правило восьми половинок, видимое из таблицы: дубль — единственная кость, которая ставит вес числа на один конец дважды.

Сколько костей показывает каждую сумму

Теперь рассортируем 28 костей по сумме. Сумма от 0 до 12 получается из пар, которые её дают, с меньшим числом первым, чтобы каждая кость считалась один раз.

• Сумма 0: 0-0 (1 кость).
• Сумма 1: 0-1 (1).
• Сумма 2: 0-2, 1-1 (2).
• Сумма 3: 0-3, 1-2 (2).
• Сумма 4: 0-4, 1-3, 2-2 (3).
• Сумма 5: 0-5, 1-4, 2-3 (3).
• Сумма 6: 0-6, 1-5, 2-4, 3-3 (4).
• Сумма 7: 1-6, 2-5, 3-4 (3).
• Сумма 8: 2-6, 3-5, 4-4 (3).
• Сумма 9: 3-6, 4-5 (2).
• Сумма 10: 4-6, 5-5 (2).
• Сумма 11: 5-6 (1).
• Сумма 12: 6-6 (1).

Количества идут 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1. В сумме они дают 28, а если взвесить каждую сумму её количеством (0×1 + 1×1 + 2×2 + … + 12×1), получаем 168, так что список и подсчёт очков сходятся. Закономерность зеркальная: если заменить число n каждой кости на 6 − n, сумма s станет 12 − s, поэтому количество для 5 равно количеству для 7, и весь ряд симметричен относительно 6.

Почему важна форма

Выше учитываются только суммы костей; в игре счёт зависит от двух открытых концов, которые являются отдельными половинками, и дубль на конце считается двумя очками. Тем не менее структура набора определяет то, что вы видите.

• Средних сумм много. Десять костей имеют сумму 5, 6 или 7 (3 + 4 + 3), против двух костей с суммой 0 или 1, поэтому вытянутая кость скорее окажется средней, чем очень лёгкой или очень тяжёлой.
• Крайности редки. Только 6-6 даёт 12, и только 0-0 — пустая пара. Вы сразу увидите, осталась ли хоть одна из них.
• Запас костей меньше, чем вы думаете. Приложение позволяет выбрать по 6, 7, 8 или 9 костей каждому. Для двух игроков это уносит 12, 14, 16 или 18 костей из 28, оставляя 16, 14, 12 или 10 для добора.

Чтобы перевести суммы в очки, всё ещё нужно правило кратных трём и пяти, изложенное в как работает подсчёт очков в Fives and Threes. The set is the stock you are scoring from, and knowing it exactly is what makes counting possible: 28 tiles, 7 doubles, 21 plain tiles, 168 spots, 7 tiles and 8 halves for every number.