Cada pontuação em Fives and Threes vem da soma de pintas, então ajuda saber quantas pintas existem e onde ficam. Um jogo duplo-seis tem uma forma fixa. Tem 28 peças, 168 pintas no total, e você pode reconstruir cada número abaixo a partir de uma regra: uma peça é um par de números de 0 a 6, e cada par aparece uma vez.
De onde vêm as 28
Uma peça tem duas metades, e cada metade mostra um número de 0 (vazio) a 6. Separe as peças em dois tipos.
- Duplas têm o mesmo número nas duas metades: 0-0, 1-1 e assim por diante até 6-6. São 7 duplas.
- Peças comuns têm dois números diferentes. Escolhendo dois números diferentes entre sete, você obtém 7 × 6 ÷ 2 = 21, porque 7 × 6 conta cada par duas vezes (4-6 e 6-4 são a mesma peça).
Juntas, são 7 + 21 = 28 peças. Entre elas há 56 metades, já que cada peça tem duas.
De onde vêm as 168
Some as pintas de uma peça e você obtém o total dela. As duplas têm totais de 0, 2, 4, 6, 8, 10 e 12, que somam 42. As 21 peças comuns têm o resto. Há um atalho para o conjunto inteiro.
Cada número aparece em 8 metades: as 6 peças comuns que o carregam mostram-no uma vez cada, e sua dupla o mostra duas vezes, então 6 + 2 = 8. Um número n contribui, portanto, com 8 × n pintas, e os sete números contribuem com 8 × (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 8 × 21 = 168. Two checks agree. The plain tiles hold 168 − 42 = 126 spots, which is 6 per tile on average, and the 56 halves average 3 spots each, giving 56 × 3 = 168.
A mesma média dá uma noção rápida de uma mão. As 28 peças têm média 168 ÷ 28 = 6 pintas, então uma mão de sete peças tem cerca de 42 pintas a longo prazo. Cada mão vai variar, mas uma mão bem acima disso é pesada em números altos, e uma bem abaixo é leve.
Sete peças, oito pontas
Esta é a contagem que contar peças em Fives and Threes usa para descobrir o que um oponente não pode ter. Cada número está em 7 peças, mas aparece em 8 metades, porque a dupla o carrega duas vezes. Os dois números são fáceis de confundir, então mantenha-os separados:
- Quando você conta peças que carregam um número, a resposta é 7 para todo número.
- Quando você conta pintas ou metades, a resposta é 8 para todo número.
A linha também importa aqui. Em Fives and Threes Dominoes uma dupla em uma ponta aberta conta as duas pintas, então um 4-4 na ponta vale 8 no total, não 4. Essa é a regra das 8 metades vista da mesa: a dupla é a única peça que coloca o peso de um número em uma única ponta duas vezes.
Quantas peças mostram cada total
Agora ordene as 28 peças pelo total. Um total de 0 a 12 é formado por pares que somam esse valor, com o menor número primeiro para que cada peça seja contada uma vez.
- Total 0: 0-0 (1 peça).
- Total 1: 0-1 (1).
- Total 2: 0-2, 1-1 (2).
- Total 3: 0-3, 1-2 (2).
- Total 4: 0-4, 1-3, 2-2 (3).
- Total 5: 0-5, 1-4, 2-3 (3).
- Total 6: 0-6, 1-5, 2-4, 3-3 (4).
- Total 7: 1-6, 2-5, 3-4 (3).
- Total 8: 2-6, 3-5, 4-4 (3).
- Total 9: 3-6, 4-5 (2).
- Total 10: 4-6, 5-5 (2).
- Total 11: 5-6 (1).
- Total 12: 6-6 (1).
As contagens seguem 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1. Elas somam 28, e ponderando cada total pela sua contagem (0×1 + 1×1 + 2×2 + … + 12×1) obtém-se 168, então a lista e a contagem de pintas batem. O padrão é um espelho: troque o número n de cada peça por 6 − n e um total s passa a ser 12 − s, então a contagem para 5 é igual à contagem para 7 e toda a linha é simétrica em torno de 6.
Por que a forma importa
Acima só foram contados os totais das peças; no jogo, a pontuação depende das duas pontas abertas, que são metades isoladas, e uma dupla em uma ponta conta as duas pintas. Mesmo assim, a estrutura do conjunto molda o que você vê.
- Os totais do meio são abundantes. Dez peças têm total 5, 6 ou 7 (3 + 4 + 3), contra duas peças com total 0 ou 1, então uma peça tirada tem muito mais chance de ser mediana do que muito leve ou muito pesada.
- Os extremos são raros. Só 6-6 chega a 12, e só 0-0 é um par vazio. Você percebe num instante se algum deles já saiu.
- O monte é menor do que você imagina. O app deixa você escolher 6, 7, 8 ou 9 peças cada. Com dois jogadores, isso tira 12, 14, 16 ou 18 peças das 28, deixando 16, 14, 12 ou 10 para comprar.
Para transformar totais em pontos, ainda é preciso a regra dos múltiplos de três e de cinco, explicada em como funciona a pontuação do Fives and Threes. The set is the stock you are scoring from, and knowing it exactly is what makes counting possible: 28 tiles, 7 doubles, 21 plain tiles, 168 spots, 7 tiles and 8 halves for every number.
Fives and Threes Dominoes permite jogar sozinho contra um oponente do computador nos modos Casual ou Competitive, até uma meta de 61, 121, 181 ou 241 pontos, com 6, 7, 8 ou 9 peças cada. Se você não puder jogar, compra do monte até poder, ou passa quando ele estiver vazio. Não há anúncios nem compras no app, e os pontos opcionais de partida existem apenas no jogo, sem valor em dinheiro.