Eine Karte auf einen Flush ziehen: neun Outs aus 47 Karten

Du hältst König, Neun, Sechs und Zwei Pik sowie die Vier Herz. Behalte die vier Pik, tausche die Herz, und du vervollständigst den Flush, wenn die neue Karte Pik ist. Wie oft ist das? Etwas weniger als einmal von fünf. Viermal von fünf ergibt der Tausch eine Hand, die schlechter ist als der Flush, auf den du gehofft hast, und das ist der normale Ausgang, kein Zeichen dafür, dass etwas schiefgelaufen ist.

Outs zählen

Eine Farbe hat 13 Karten. Du hältst vier davon, also 9 Pik sind noch unbekannt. Das sind deine Outs: die Karten, die die Hand vervollständigen.

Das Deck hat 52 Karten, und du siehst fünf davon, also 47 sind unbekannt. Jede ist gleich wahrscheinlich die, die du erhältst. Das ergibt

9 ÷ 47 = 19.15%

und das Verfehlen ist 38 ÷ 47 = 80.85 %, da 47 − 9 = 38. In Quoten ausgedrückt ist das 38 zu 9 gegen dich, oder etwa 4.2 zu 1. Anders herum: 47 ÷ 9 = 5.2, also gelingt ein Vierer-Flush im Schnitt einmal in je 5.2 Versuchen.

Wie er im Vergleich zu anderen Ein-Karten-Draws abschneidet

Jeder Ein-Karten-Draw ist eine Zählung von Outs über dieselben 47. Nur die Outs ändern sich:

• Open-Ended-Straight-Draw (vier in Folge mit beiden offenen Enden, etwa 5-6-7-8): acht Outs, 8 ÷ 47 = 17.02 %.
• Inside-Straight-Draw (eine Lücke, etwa 5-6-8-9): vier Outs, 4 ÷ 47 = 8.51 %. Warum ein Inside-Straight-Draw genau halb so viel wert ist wie ein Outside-Draw deckt dieses Paar ab.
• Zwei Paare zum Full House: Von jedem Paarwert bleiben zwei Karten übrig, also vier Outs, 8.51 %.
• Eine bestimmte Karte: ein einzelner Out, 1 ÷ 47 = 2.13 %.

Der Flush-Draw liegt daher knapp über dem Open-Ended-Straight-Draw: neun Outs gegen acht. Er hat außerdem mehr als das Doppelte eines jeden Draws mit vier Outs.

Draws können sich auch überschneiden. Angenommen, deine vier Pik bilden zugleich vier in Folge, etwa die 5, 6, 7 und 8 Pik. Jede Pik vervollständigt den Flush (9 Outs). Jede 4 oder 9 vervollständigt den Straight (8 Outs), aber die 4 und 9 Pik sind bereits unter den Pik mitgezählt, daher bringen nur sechs Karten einer anderen Farbe etwas Neues. Outs insgesamt: 9 + 6 = 15, und 15 ÷ 47 = 31.91 %.

Verfehlen ist das übliche Ergebnis

Eine Verfehlungsquote von 80.85 % nickt man leicht ab und fühlt sie schwer. Nimm fünf getrennte Hände, bei denen du jeweils mit vier Karten einer Farbe startest und einmal tauschst. Die Chance, alle fünf zu verfehlen, ist (38 ÷ 47)⁵ = 34.5 %, also scheitert in mehr als einem Drittel der Fälle die Serie von fünf. Die Chance auf mindestens einen Flush in diesen fünf liegt bei 65.5 %.

Wenn sich die Zahl unbekannter Karten ändert

Die 47 setzen voraus, dass die einzigen Karten, die du kennst, deine eigenen fünf sind. Jede andere Karte, die du siehst, nimmt eine aus dem unbekannten Stapel, und die Wirkung hängt davon ab, welche es ist. Angenommen, du siehst eine zusätzliche Karte, die aus demselben Deck stammt wie die Karte, die du erhältst:

• Wenn es kein Pik ist: 9 Outs unter 46 unbekannten, 9 ÷ 46 = 19.57 %.
• Wenn es Pik ist: 8 Outs unter 46 unbekannten, 8 ÷ 46 = 17.39 %.

Eine sichtbare Karte deiner Farbe nimmt dem Draw also etwa zwei Punkte, und eine sichtbare Karte einer anderen Farbe bringt weniger als einen halben Punkt. Karten, die andere Spieler halten und die du nicht siehst, ändern nichts: Von deinem Platz aus sind sie genauso unbekannt wie der Rest des Decks, daher bleibt 47 der richtige Nenner.

Den Draw bepreisen

Wenn jeder Tausch etwas kostet, muss man die 19.15 % dagegen abwägen. Angenommen, ein Tausch kostet einen Einsatz c, den du bei einem Verfehlen verlierst, und ein Treffer bringt G gegenüber dem, was du hattest. Der Draw geht auf, wenn 9 ÷ 47 × G = 38 ÷ 47 × c, was ergibt G = (38 ÷ 9) × c = 4.22c. A completed flush must be worth a little over four times the price of the attempt before the exchange is better than doing nothing, ignoring any value the hand already has.

Ein Paar aufzugeben, um einem Flush nachzujagen, gibt außerdem eine Hand auf, die bereits Wert hat, was die Formel ignoriert. Für die Paar-Seite dieses Vergleichs siehe Die Chancen, ein Paar beim Kartentausch zu verbessern. How rare a finished flush is when dealt, and why it outranks a straight, is in Warum ein Flush einen Straight schlägt.

Checkliste für den Tisch

1. Zähle die Farbe. Vier Karten einer Farbe lassen 9 dieser Farbe unter 47 unbekannten übrig.
2. Teile. 9 ÷ 47 ergibt 19.15 %. Bei einem Straight-Draw ersetzt du die 9 durch 8 oder 4.
3. Rechne mit dem Verfehlen. Vier von fünf Versuchen scheitern, und das ist der Preis des Draws, keine Pechsträhne.

Diese Zahlen sind reine Fünf-Karten-Mathematik. Wie viele Karten du in einer Hand von Poker vs Dealer, und was jeder Tausch kostet, legen die eigenen Regeln dieses Spiels fest. Die Store-Beschreibung sagt, du könntest einen Ante zahlen, um eine Karte zu schmieden, indem du sie gegen eine neue tauschst. Daher gilt die Idee des Break-even oben für das Schmieden: Die neue Karte muss deutlich mehr wert sein als der Ante. Prüfe vor dem Verlassen auf eine Zahl die Spielregeln und den Auszahlungsbildschirm im Spiel.