Comprar uma carta para um flush: nove outs em 47 cartas

Você tem o rei, o nove, o seis e o dois de espadas, mais o quatro de copas. Mantenha as quatro espadas, troque a copa, e você completa o flush se a nova carta for espada. Com que frequência isso acontece? Um pouco abaixo de uma vez em cinco. Quatro vezes em cinco a troca dá uma mão pior do que o flush que você esperava, e esse é o resultado normal, não um sinal de que algo deu errado.

Contando os outs

Um naipe tem 13 cartas. Você tem quatro delas, então 9 espadas ainda não foram vistas. Estes são seus outs: as cartas que completam a mão.

O baralho tem 52 cartas e você vê cinco delas, então 47 não são vistas. Cada uma tem a mesma chance de ser a que você recebe. Isso dá

9 ÷ 47 = 19.15%

e o erro é 38 ÷ 47 = 80.85%, já que 47 − 9 = 38. Em termos de odds, são 38 contra 9, ou cerca de 4.2 para 1. Visto ao contrário, 47 ÷ 9 = 5.2, então em média um flush de quatro cartas se completa uma vez a cada 5.2 tentativas.

Como se compara com outros draws de uma carta

Todo draw de uma carta é uma contagem de outs sobre as mesmas 47. Só os outs mudam:

• Draw de sequência em aberto (quatro em sequência com as duas pontas abertas, como 5-6-7-8): oito outs, 8 ÷ 47 = 17.02%.
• Draw de sequência interna (um buraco, como 5-6-8-9): quatro outs, 4 ÷ 47 = 8.51%. Por que um projeto de sequência interna vale exatamente metade de um externo trata desse par.
• Dois pares para um full house: restam duas cartas de cada valor de par, então quatro outs, 8.51%.
• Uma carta específica: um único out, 1 ÷ 47 = 2.13%.

O draw de flush, portanto, fica logo acima do draw de sequência em aberto: nove outs contra oito. Também é mais que o dobro de qualquer draw com quatro outs.

Os draws também podem se sobrepor. Suponha que suas quatro espadas também formem quatro em sequência, digamos o 5, 6, 7 e 8 de espadas. Qualquer espada completa o flush (9 outs). Qualquer 4 ou 9 completa a sequência (8 outs), mas o 4 e o 9 de espadas já estão contados entre as espadas, então só seis cartas que não são de espadas acrescentam algo novo. Total de outs: 9 + 6 = 15, e 15 ÷ 47 = 31.91%.

Errar é o resultado usual

Uma taxa de erro de 80.85% é fácil de aceitar com a cabeça e difícil de sentir. Pegue cinco mãos separadas em que você começa com quatro para um flush e faz uma troca em cada uma. A chance de errar todas as cinco é (38 ÷ 47)⁵ = 34.5%, então mais de um terço das vezes, cinco seguidas vão falhar. A chance de pelo menos um flush nessas cinco é 65.5%.

Quando muda a contagem de cartas não vistas

Os 47 pressupõem que as únicas cartas que você conhece são suas cinco. Qualquer outra carta visível que você veja tira uma da pilha de não vistas, e o efeito depende de qual é. Suponha que você possa ver uma carta extra que vem do mesmo baralho da carta que você vai receber:

• Se não for espada: 9 outs entre 46 não vistas, 9 ÷ 46 = 19.57%.
• Se for espada: 8 outs entre 46 não vistas, 8 ÷ 46 = 17.39%.

Assim, uma carta visível do seu naipe tira cerca de dois pontos do draw, e uma carta visível de outro naipe acrescenta menos de meio ponto. Cartas que outros jogadores têm e que você não pode ver não mudam nada: da sua posição elas são tão desconhecidas quanto o resto do baralho, então 47 continua sendo o denominador correto.

Precificando o draw

Se cada troca custa algo, os 19.15% precisam ser comparados com esse custo. Suponha que uma troca custe uma aposta c, você a perde se errar, e um acerto ganha G sobre o que você tinha. O draw empata quando 9 ÷ 47 × G = 38 ÷ 47 × c, o que dá G = (38 ÷ 9) × c = 4.22c. A completed flush must be worth a little over four times the price of the attempt before the exchange is better than doing nothing, ignoring any value the hand already has.

Desfazer um par para perseguir um flush também abre mão de uma mão que já tem valor, o que a fórmula ignora. Para o lado do par dessa comparação, veja As chances de melhorar um par ao trocar cartas. How rare a finished flush is when dealt, and why it outranks a straight, is in Por que um flush vence uma sequência.

Checklist para a mesa

1. Conte o naipe. Quatro cartas de um naipe deixam 9 desse naipe entre 47 não vistas.
2. Divida. 9 ÷ 47 dá 19.15%. Para um draw de sequência, troque o 9 por 8 ou 4.
3. Espere o erro. Quatro tentativas em cinco falham, e esse é o preço do draw, não uma sequência de azar.

Estes números são matemática simples de pôquer de cinco cartas. Quantas cartas você pode trocar numa mão de Poker vs Dealer, e quanto custa cada troca, é definido pelas regras próprias desse jogo. A descrição na loja diz que você pode pagar um ante para forjar uma carta trocando-a por uma nova, então a ideia de equilíbrio acima se aplica à forja: a carta nova precisa valer bem mais que o ante. Confira as regras e a tela de pagamentos no próprio jogo antes de confiar em qualquer número daqui.