Die Chancen, ein Paar beim Kartentausch zu verbessern

Du erhältst 10-10-A-K-Q und entscheidest dich, die Zehnen zu behalten und die anderen drei Karten zu tauschen. Wie oft macht das aus dem Paar etwas Besseres? In etwa 29% der Fälle. Ungefähr sieben von zehn Tauschen lassen dich genau das Paar halten, mit dem du begonnen hast, nur liegen jetzt drei verschiedene Karten daneben.

Diese Zahl ist keine Faustregel. Sie entsteht aus dem Zählen jeder möglichen Ziehung, und die Zählung ist kurz genug, um sie von Hand nachzuprüfen.

Die 16,215 möglichen Ziehungen

Du siehst fünf Karten, also sind 47 unbekannt: das Deck minus deiner Hand. Mit einem Paar Zehnen sind darunter noch zwei Zehnen, und die übrigen 45 Karten sind alles andere. Drei Karten werden aus diesen 47 gezogen, ohne Reihenfolge, also gibt es 47 × 46 × 45 ÷ 6 = 16,215 gleich wahrscheinliche Ziehungen. Jedes Ergebnis unten ist eine Anzahl dieser Ziehungen, geteilt durch 16,215.

Der Rang deines Paares spielt keine Rolle: Von ihm sind immer zwei Karten übrig, und die anderen Ränge haben jeweils drei oder vier Karten.

Zwei der Zeilen selbst nachrechnen

Der Vierling ist am einfachsten. Du brauchst beide verbleibenden Zehnen und dann eine beliebige dritte Karte aus den übrigen 45. Es gibt eine Möglichkeit, beide Zehnen zu nehmen, und 45 Möglichkeiten für die dritte, also 45 Ziehungen, und 45 ÷ 16,215 = 0.28%.

Ein Full House entsteht auf zwei Wegen. Entweder ziehst du ein Paar eines neuen Rangs plus eine Zehn, oder du ziehst einen Drilling eines neuen Rangs. Für den ersten Fall gibt es 63 mögliche Paare eines anderen Rangs als Zehn (neun Ränge mit je vier verbleibenden Karten ergeben je sechs Paare, und drei Ränge mit je drei verbleibenden Karten, nämlich die Ränge der abgelegten Karten, ergeben je drei Paare). Multipliziert mit den zwei Zehnen, mit denen man paaren könnte, ergibt das 126. Für den zweiten Fall ergeben neun Ränge je vier Drillinge und die drei abgelegten Ränge je einen: 39. Insgesamt 126 + 39 = 165 Ziehungen, oder 1.02%.

Die vier Verbesserungen ergeben zusammen: 2,592 + 1,854 + 165 + 45 = 4,656, und 4,656 ÷ 16,215 = 28.71%.

Warum ein Kicker dich kostet

Manche Spieler behalten eine hohe Karte neben dem Paar, halten also A-10-10 und tauschen zwei Karten, in der Annahme, dass ein Ass beim Vergleich der Hände hilft. Die Zählung zeigt, was diese Wahl an Verbesserungschance kostet. Bei zwei Karten, die aus denselben 47 kommen, gibt es 47 × 46 ÷ 2 = 1,081 Ziehungen, und diese verbessern die Hand:

Das sind 25.90% gegenüber 28.71%, ein Verlust von 2.81 Punkten. Der Kicker erhöht zwar die Chance auf zwei Paare (17.21% gegenüber 15.99%), weil dein Ass jetzt drei Partner hat, mit denen es paaren kann. Aber du gibst eine dritte Karte auf, und Drillinge sinken von 11.43% auf 7.77%. Der Fehler ist derselbe, den der Beitrag über Videopoker Warum ein Kicker nie hilft durchspielt, bei dem der Automat nach einer festen Tabelle auszahlt. Gegen einen Gegner kann ein Kicker ein Unentschieden zwischen gleichen Paaren brechen, er ist also nicht wertlos, aber er ist auch nicht umsonst.

Was eine Verbesserung wert ist

Von den 4,656 verbessernden Ziehungen enden 2,592 in zwei Paaren und 1,854 in einem Drilling. Diese beiden Ergebnisse machen 95.5% der Verbesserungen aus, in der Praxis heißt „verbessern“ also eines dieser beiden. Ein Full House oder ein Vierling ist selten: 210 Ziehungen von 16,215, zusammen 1.30%.

Hilfreich ist zu wissen, wo diese Ergebnisse in der Rangfolge stehen. In Wie selten jede Fünf-Karten-Pokerhand ist, die vollständige Zählung aller ausgeteilten Hände zeigt, wie häufig ein Paar ist (die häufigste fertige Hand) und wie viel seltener zwei Paare und Drillinge sind als ein Paar.

Die Zahlen am Tisch nutzen

1. Rechne damit, dass es nicht klappt. Eine verfehlte Ziehung ist das übliche Ergebnis, kein Pech.
2. Zähle die unbekannten Karten, nicht das volle Deck. Mit einem gehaltenen Paar gibt es zu Beginn der Ziehung immer 47 unbekannte Karten, und genau zwei davon passen zu deinem Paar.
3. Bewerte die zusätzliche Karte. Eine fünfte Karte zu behalten, kostet etwa 2.8 Punkte Verbesserungschance. Behalte sie nur, wenn du einen Grund hast.

Die obigen Zahlen sind allgemeine Five-Card-Poker-Mathematik und gelten daher für jedes Spiel, bei dem man drei Karten tauschen darf. Wie viele Karten du in einer bestimmten Hand von Poker vs Dealer richtet sich nach den eigenen Regeln dieses Spiels. Die Store-Beschreibung sagt, dass du einen Ante zahlen kannst, um eine Karte zu schmieden, indem du sie gegen eine neue tauschst, und der Regel- und Auszahlungsbildschirm im Spiel ist der richtige Ort, um die Details zu prüfen, bevor du dich auf eine der Zahlen hier verlässt.