Hohe Farbkarten: wann zwei bei Jacks or Better drei schlagen

Du bekommst K♥ Q♠ J♠ 7♣ 3♦. Drei hohe Karten in Folge sehen nach dem offensichtlichen Halten aus. Der bessere Zug ist, den König wegzuwerfen und nur Dame und Bube in Pik zu halten. Dieser Beitrag zählt für beide Halte-Varianten jede mögliche Ziehung nach der 9/6-Jacks-or-Better-Auszahlungstabelle, damit du siehst, woher der Unterschied kommt und wo er aufhört zu gelten.

Die Auszahlungstabelle pro Münze Einsatz: Royal Flush 800, Straight Flush 50, Vierling 25, Full House 9, Flush 6, Straße 4, Drilling 3, zwei Paare 2, Buben oder besser 1. Der Erwartungswert (EV) bedeutet die zurückgegebenen Münzen pro Münze Einsatz. Du hast fünf Karten gesehen, also sind 47 unbekannt.

Die beiden Halte-Varianten, gezählt

Hältst du K-Q-J, ziehst du zwei Karten: 47 × 46 / 2 = 1,081 mögliche Ziehungen. Hältst du Q♠ J♠, ziehst du drei: 47 × 46 × 45 / 6 = 16,215 mögliche Ziehungen. Addiere, was jede Ziehung auszahlt, und teile durch die Anzahl der Ziehungen:

• Q-J in gleicher Farbe: 9,891 Münzen über 16,215 Ziehungen, EV = 0.610
• K-Q-J ohne gleiche Farbe: 557 Münzen über 1,081 Ziehungen, EV = 0.515

Der Abstand beträgt 0.095 Münzen pro Münze Einsatz, also etwa 18% mehr für das Zwei-Karten-Halten. Andere Halte aus derselben Hand sind noch schlechter. K♥ Q♠ allein ist 0.479 wert, der König allein 0.450.

Woher die 0.095 kommen

Hier ist jedes Ergebnis der beiden Ziehungen, nach Hand:

Schau zuerst auf die letzte Zeile. Das gleichfarbige Halten endet mit nichts bei 9,967 von 16,215 Ziehungen, also 61.5%. K-Q-J endet mit nichts bei 665 von 1,081, ebenfalls 61.5%. Beide Halte verfehlen gleich oft. Sie unterscheiden sich darin, was die Treffer wert sind.

Auf der Paarseite begünstigt das Dreikarten-Halten leicht. K-Q-J endet als hohes Paar bei 348 von 1,081 Ziehungen (32.2%), gegenüber 4,914 von 16,215 (30.3%) bei Q-J. Das ist der echte Vorteil, eine dritte hohe Karte zu halten: Neun lebende Karten (drei Könige, drei Damen und drei Buben, die im Deck übrig sind, da die K, Q und J, die du hältst, nicht darunter sind) können dir ein Paar bringen, gegenüber sechs beim Zwei-Karten-Halten.

Bei den Flushes übernimmt das gleichfarbige Halten. Elf Piks sind übrig, und jede drei davon ergeben einen Flush oder besser: 11 × 10 × 9 / 6 = 165 Ziehungen. Eine davon ist der Royal Flush (A, K und 10 in Pik), zwei sind Straight Flushes (K-10-9 und 10-9-8), und die anderen 162 sind gewöhnliche Flushes. Sie zahlen

1 × 800 + 2 × 50 + 162 × 6 = 800 + 100 + 972 = 1,872 Münzen

was 18.9% der 9,891 Münzen ist, die das gleichfarbige Halten zurückgibt, aus 165 Ziehungen von 16,215 (1.0%). Der Royal allein macht 800 davon aus, 8.1% des Gesamtrückflusses des Halts, aus einer einzigen Ziehung von 16,215. K-Q-J, wie ausgeteilt, hat gar keinen Flush-Zug, weil die drei Karten drei verschiedene Farben haben.

Was das für die Reihenfolge bedeutet

Die vereinfachte Liste in dem Beitrag zur Strategie bei Jacks or Better stellt „zwei hohe Karten in gleicher Farbe“ über „zwei hohe Karten ohne gleiche Farbe“, hat aber keine Zeile für drei hohe Karten ohne gleiche Farbe. Für diese Hände ordnen die Zahlen sie so ein: Q-J in gleicher Farbe (0.610) steht über K-Q-J ohne gleiche Farbe (0.515), das wiederum über dem besten Paar ohne gleiche Farbe der drei steht, Q-J (0.495). Drei weitere berechnete Beispiele, jeweils mit einer 7 und einer 3 als den beiden übrigen Karten:

• K-Q in gleicher Farbe (0.592) oder K-J in gleicher Farbe (0.592) schlägt die drei Karten K-Q-J, wenn die dritte keine gleiche Farbe hat (0.515).
• A-K in gleicher Farbe (0.577) ist das beste Halten aus A♠ K♠ Q♥ 7♣ 3♦; die beste Alternative ohne gleiche Farbe, K-Q, ist 0.483.
• Q-J in gleicher Farbe (0.610) ist der höchste dieser Werte, da niedrigere Karten mehr Straßen und Straight Flushes übrig lassen, die man treffen kann.

Wo es aufhört

Drei Karten derselben Farbe sind ein anderer Fall. K-Q-J in einer Farbe sind drei Karten zum Royal Flush, und die Strategieliste stellt das über beide dieser Halte. Außerdem kommt es darauf an, ob du nur noch eine Karte von einer Hand mit vier Karten entfernt bist. Mit A♠ K♠ Q♥ J♦ 3♣ ist das beste Halten alle vier hohen Karten, A-K-Q-J, mit 28 / 47 = 0.596 (12 Karten, die ein Paar bilden, plus vier Zehnen, die eine Straße ergeben, 12 × 1 + 4 × 4 = 28 Münzen über 47 Ziehungen). Das schlägt das gleichfarbige A-K mit 0.568. In dieser Hand schlagen vier hohe Karten ohne gleiche Farbe zwei gleichfarbige. Drei tun es nicht.

Das alles gilt für 9/6 Jacks or Better. Eine Auszahlungstabelle mit einer anderen Zeile für Flush oder Royal Flush ändert die Antwort, daher prüfe diese Zeilen, bevor du dich auf eine Reihenfolge verlässt. Der Beitrag zum Royal Flush zeigt, wie viel vom Rückfluss eines Automaten in einer Zeile steckt, und der Beitrag zu vier für einen Royal behandelt die größeren Halte, die über diesen liegen.

Eine Regel zum Mitnehmen

Zwei hohe Karten in gleicher Farbe schlagen drei ohne gleiche Farbe, weil die Outs für Flush, Straight Flush und Royal mehr wert sind als eine dritte Karte, die ein Paar bildet. Im Beispiel verfehlen beide Halte in 61.5% der Fälle, und das gleichfarbige Paar bringt 0.610 gegenüber 0.515. Behalte das gleichfarbige Paar, wirf den König in der anderen Farbe ab, und behalte vier hohe Karten ohne gleiche Farbe nur dann, wenn du wirklich vier hast.