Hautes cartes de couleur : deux battent trois aux Valets

Votre main : K♥ Q♠ J♠ 7♣ 3♦. Trois hautes cartes à la suite semblent le choix évident à garder. Le meilleur coup est de jeter le roi et de ne garder que la dame et le valet de pique. Cet article compte tous les tirages possibles pour les deux gardes selon la table des gains 9/6 Jacks or Better, pour que vous voyiez d’où vient l’écart et où il cesse de s’appliquer.

La table des gains, par jeton misé : quinte flush royale 800, quinte flush 50, carré 25, full 9, couleur 6, suite 4, brelan 3, deux paires 2, valets ou mieux 1. L’espérance (EV) désigne les jetons rendus par jeton misé. Vous avez vu cinq cartes, donc 47 sont inconnues.

Les deux gardes, comptées

Gardez K-Q-J et vous tirez deux cartes : 47 × 46 / 2 = 1,081 tirages possibles. Gardez Q♠ J♠ et vous tirez trois cartes : 47 × 46 × 45 / 6 = 16,215 tirages possibles. Additionnez ce que rapporte chaque tirage et divisez par le nombre de tirages :

• Q-J de même couleur : 9,891 jetons pour 16,215 tirages, EV = 0.610
• K-Q-J (couleurs mélangées) : 557 jetons pour 1,081 tirages, EV = 0.515

L’écart est de 0.095 jeton par jeton misé, soit environ 18% de plus pour la garde à deux cartes. Les autres gardes de cette même main sont encore moins bonnes. Garder K♥ Q♠ seul vaut 0.479, le roi seul 0.450.

D’où vient le 0.095

Voici tous les résultats des deux tirages, main par main :

Regardez d’abord la dernière ligne. La garde de même couleur finit sans rien dans 9,967 tirages sur 16,215, soit 61.5%. K-Q-J finit sans rien dans 665 tirages sur 1,081, également 61.5%. Les deux gardes ratent aussi souvent l’une que l’autre. Elles diffèrent par la valeur de leurs réussites.

Côté paire, la garde à trois cartes est un peu avantagée. K-Q-J finit avec une paire de hautes cartes dans 348 tirages sur 1,081 (32.2%), contre 4,914 sur 16,215 (30.3%) pour Q-J. C’est le véritable avantage de garder une troisième haute carte : neuf cartes utiles (trois rois, trois dames et trois valets restant dans le jeu, puisque les K, Q et J que vous détenez n’en font pas partie) peuvent vous donner une paire, contre six pour la garde à deux cartes.

Côté couleur, c’est la garde de même couleur qui prend le dessus. Il reste onze piques, et trois d’entre eux donnent une couleur ou mieux : 11 × 10 × 9 / 6 = 165 tirages. L’un d’eux est la quinte flush royale (A, K et 10 de pique), deux sont des quintes flush (K-10-9 et 10-9-8), et les 162 autres sont des couleurs simples. Ils rapportent

1 × 800 + 2 × 50 + 162 × 6 = 800 + 100 + 972 = 1,872 jetons

soit 18.9% des 9,891 jetons que rapporte la garde de même couleur, issus de 165 tirages sur 16,215 (1.0%). La seule quinte flush royale en rapporte 800, soit 8.1% du rendement total de la garde, pour un tirage sur 16,215. K-Q-J tel que distribué n’a aucun tirage de couleur, car les trois cartes sont de trois couleurs différentes.

Ce que cela change pour le classement

La liste simplifiée de l'article de stratégie sur le Jacks or Better place « deux hautes cartes de même couleur » au-dessus de « deux hautes cartes de couleurs mélangées », mais n’a aucune ligne pour trois hautes cartes de couleurs mélangées. Pour ces mains, les décomptes les placent ainsi : Q-J de même couleur (0.610) se situe au-dessus de K-Q-J de couleurs mélangées (0.515), lui-même au-dessus de la meilleure paire sans couleur commune parmi les trois, Q-J (0.495). Trois autres exemples calculés, chacun avec un 7 et un 3 comme deux autres cartes :

• K-Q de même couleur (0.592) ou K-J de même couleur (0.592) bat les trois cartes K-Q-J lorsque la troisième est d’une autre couleur (0.515).
• A-K de même couleur (0.577) est la meilleure garde de A♠ K♠ Q♥ 7♣ 3♦ ; la meilleure alternative sans couleur commune, K-Q, vaut 0.483.
• Q-J de même couleur (0.610) est le plus élevé de ces cas, car des cartes plus basses laissent davantage de suites et de quintes flush à atteindre.

Où cela s’arrête

Trois cartes de même couleur forment un cas différent. K-Q-J d’une seule couleur, c’est trois cartes sur une quinte flush royale, et la liste de stratégie place cela au-dessus de ces deux gardes. Compte aussi le fait d’être à une carte d’une main à quatre cartes. Avec A♠ K♠ Q♥ J♦ 3♣, la meilleure garde est les quatre hautes cartes, A-K-Q-J, valant 28 / 47 = 0.596 (12 cartes d’appariement plus quatre dix qui font une suite, 12 × 1 + 4 × 4 = 28 jetons sur 47 tirages), ce qui bat l’A-K de même couleur à 0.568. Dans cette main, quatre hautes cartes de couleurs mélangées battent deux cartes de même couleur. Trois, non.

Tout cela concerne le 9/6 Jacks or Better. Une table des gains avec une autre ligne de couleur ou de quinte flush royale change le résultat, donc vérifiez ces lignes avant de vous fier à un classement. La fiche sur la quinte flush royale montre quelle part du rendement d’une machine repose sur une seule ligne, et l’ article sur « quatre cartes vers la quinte royale » traite des gardes plus importantes qui se situent au-dessus de celles-ci.

Une règle à retenir

Deux hautes cartes de même couleur battent trois cartes de couleurs mélangées, car les outs de couleur, de quinte flush et de quinte royale valent davantage qu’une troisième carte qui forme une paire. Dans l’exemple, les deux gardes ratent 61.5% du temps, et la paire de même couleur rapporte 0.610 contre 0.515. Gardez la paire de même couleur, défaussez le roi de couleur différente, et ne gardez quatre hautes cartes de couleurs mélangées que lorsque vous en avez vraiment quatre.