Шансы улучшить пару при замене карт

Вам сдали 10-10-A-K-Q, и вы решаете оставить десятки и поменять три остальные карты. Как часто это превращает пару во что-то лучшее? Примерно в 29% случаев. Около семи обменов из десяти оставляют вас с той же парой, которую вы начинали, только теперь рядом с ней три разные карты.

Эта цифра — не эмпирическое правило. Она получена подсчётом всех возможных раздач, и этот подсчёт достаточно короткий, чтобы проверить его вручную.

16,215 возможных раздач

Вы видите пять карт, поэтому 47 неизвестны: колода минус ваша рука. При паре десяток среди них остаются две десятки, а остальные 45 карт — всё остальное. Три карты берутся из этих 47, порядок не учитывается, поэтому 47 × 46 × 45 ÷ 6 = 16,215 равновероятных раздач. Каждый результат ниже — количество таких раздач, делённое на 16,215.

Ранг вашей пары не имеет значения: двух карт этого ранга всегда остаётся две, а у остальных рангов остаётся по три или четыре.

Проверка двух строк самостоятельно

Каре проще всего. Нужны обе оставшиеся десятки и затем любая третья карта из остальных 45. Есть один способ взять обе десятки и 45 способов выбрать третью, итого 45 раздач, и 45 ÷ 16,215 = 0.28%.

Фулл-хаус получается двумя путями. Либо вы берёте пару карт нового ранга плюс одну десятку, либо три карты одного нового ранга. Для первого случая существует 63 возможные пары карт ранга, отличного от десяток (девять рангов с четырьмя оставшимися картами дают по шесть пар каждый, а три ранга с тремя оставшимися картами — ранги сброшенных карт — дают по три пары каждый). Умножьте на две десятки, с которыми можно составить пару, и получите 126. Для второго случая девять рангов дают по четыре тройки каждый, а три сброшенных ранга — по одной: 39. Всего 126 + 39 = 165 раздач, или 1.02%.

Четыре улучшения в сумме: 2,592 + 1,854 + 165 + 45 = 4,656, и 4,656 ÷ 16,215 = 28.71%.

Почему кикер стоит шансов

Некоторые игроки держат старшую карту рядом с парой, имея A-10-10 и меняя две карты, в расчёте на то, что туз поможет при сравнении рук. Подсчёт показывает, чем обходится этот выбор в шансах на улучшение. При двух картах, которые нужно добрать из тех же 47, есть 47 × 46 ÷ 2 = 1,081 раздача, и вот эти раздачи улучшают руку:

Это 25.90% против 28.71%, то есть потеря 2.81 пункта. Кикер действительно повышает шанс на две пары (17.21% против 15.99%), потому что туз теперь имеет трёх партнёров для пары. Но вы отдаёте третью карту, и шанс на тройку падает с 11.43% до 7.77%. Ошибка та же, что разобрана в статье про видеопокер Почему кикер никогда не помогает где автомат платит по фиксированной таблице. Против соперника кикер может решить ничью между равными парами, так что он не бесполезен, но и не бесплатен.

Чего стоит улучшение

Из 4,656 улучшающих раздач 2,592 заканчиваются двумя парами, а 1,854 — тройкой. Эти два результата составляют 95.5% всех улучшений, поэтому на практике «улучшение» означает один из этих двух. Фулл-хаус или каре — редкость: 210 раздач из 16,215, или 1.30% вместе.

Полезно знать, где эти результаты стоят в иерархии. В Насколько редка каждая пятикарточная комбинация таблице комбинаций полный подсчёт сданных рук показывает, насколько часта пара (самая распространённая готовая комбинация) и насколько реже две пары и тройка, чем одна пара.

Использование чисел за столом

1. Готовьтесь к промахам. Промах — обычный исход, а не невезение.
2. Считайте неизвестные карты, а не всю колоду. При удержанной паре в начале добора всегда 47 неизвестных карт, и ровно две из них совпадают с вашей парой.
3. Оценивайте стоимость лишней карты. Удержание пятой карты стоит примерно 2.8 пункта шанса на улучшение. Оставляйте её, только если есть причина.

Приведённые выше числа — общая математика пятикарточного покера, поэтому они верны для любой игры, где можно поменять три карты. Сколько карт можно менять в одной раздаче Poker vs Dealer определяется правилами самой игры. В описании магазина сказано, что можно заплатить антэ, чтобы выковать карту, обменяв её на новую, а подробности стоит проверить на экране правил и выплат в игре, прежде чем полагаться на какую-либо цифру здесь.