Las probabilidades de mejorar un par al cambiar cartas

Te reparten 10-10-A-K-Q y decides quedarte con los dieces y cambiar las otras tres cartas. ¿Con qué frecuencia eso convierte la pareja en algo mejor? Alrededor del 29% de las veces. Aproximadamente siete de cada diez cambios te dejan con exactamente la pareja con la que empezaste, solo que ahora con tres cartas distintas a su lado.

Esa cifra no es una regla práctica. Sale de contar todas las combinaciones posibles, y el recuento es lo bastante corto como para comprobarlo a mano.

Las 16,215 combinaciones posibles

Ves cinco cartas, así que 47 no están vistas: el mazo menos tu mano. Con una pareja de dieces, quedan dos dieces entre ellas, y las otras 45 cartas son todo lo demás. Tres cartas salen de esas 47, sin importar el orden, así que hay 47 × 46 × 45 ÷ 6 = 16,215 combinaciones igualmente probables. Cada resultado de abajo es un recuento de esas combinaciones dividido entre 16,215.

El valor de tu pareja no importa: siempre quedan dos cartas de ese valor, y los demás valores conservan tres o cuatro cartas cada uno.

Comprueba tú mismo dos de las filas

El póker es el más fácil. Necesitas los dos dieces que quedan y luego cualquier tercera carta de las otras 45. Hay una forma de tomar ambos dieces y 45 formas de elegir la tercera, así que 45 combinaciones, y 45 ÷ 16,215 = 0.28%.

Un full house se consigue de dos maneras. O bien robas una pareja de un valor nuevo más un diez, o bien robas un trío de un valor nuevo. Para la primera, hay 63 parejas posibles de un valor distinto al diez (nueve valores con cuatro cartas disponibles dan seis parejas cada uno, y tres valores con tres cartas disponibles, los valores de las cartas que descartaste, dan tres parejas cada uno). Multiplica por los dos dieces con los que podrías emparejarla y obtienes 126. Para la segunda, nueve valores dan cuatro tríos cada uno y los tres valores descartados dan uno cada uno: 39. En total 126 + 39 = 165 combinaciones, o 1.02%.

Las cuatro mejoras suman: 2,592 + 1,854 + 165 + 45 = 4,656, y 4,656 ÷ 16,215 = 28.71%.

Por qué un kicker te cuesta

Algunos jugadores se quedan con una carta alta junto a la pareja, conservando A-10-10 y cambiando dos cartas, con la idea de que un as ayuda cuando se comparan las manos. El recuento muestra lo que cuesta esa elección en probabilidad de mejora. Con dos cartas que salen de las mismas 47 hay 47 × 46 ÷ 2 = 1,081 combinaciones, y estas mejoran la mano:

Eso es 25.90% frente a 28.71%, una pérdida de 2.81 puntos. El kicker sí sube la probabilidad de doble pareja (17.21% frente a 15.99%), porque tu as ahora tiene tres compañeros con los que emparejarse. Pero renuncias a una tercera carta, y el trío baja de 11.43% a 7.77%. El error es el mismo que analiza la entrada sobre el póker de vídeo Por qué un kicker nunca ayuda analiza, donde la máquina paga según una tabla fija. Frente a un rival, un kicker puede romper un empate entre parejas iguales, así que no carece de valor, pero no es gratis.

Lo que vale una mejora

De las 4,656 combinaciones que mejoran, 2,592 acaban en doble pareja y 1,854 en trío. Esos dos resultados son el 95.5% de las mejoras, así que en la práctica "mejorar" significa uno de los dos. Un full house o un póker son raros: 210 combinaciones de 16,215, o 1.30% en total.

Ayuda saber dónde están esos resultados en la jerarquía. En Lo raras que es cada mano de póker de cinco cartas, el recuento completo de manos repartidas muestra lo habitual que es una pareja (la mano formada más común) y lo mucho más raras que son la doble pareja y el trío frente a una pareja.

Usar los números en la mesa

1. Espera fallar. Fallar una mejora es el resultado habitual, no mala suerte.
2. Cuenta las cartas no vistas, no el mazo completo. Con una pareja en la mano siempre hay 47 cartas no vistas al inicio del cambio, y exactamente dos de ellas igualan tu pareja.
3. Calcula el coste de la carta extra. Quedarte con una quinta carta cuesta unos 2.8 puntos de probabilidad de mejora. Quédate con una solo si tienes un motivo.

Los números anteriores son matemáticas generales del póker de cinco cartas, así que valen para cualquier juego que te deje cambiar tres cartas. Cuántas cartas puedes cambiar en una mano concreta de Poker vs Dealer lo fija el reglamento propio de ese juego. La descripción de la tienda dice que puedes pagar un ante para forjar una carta cambiándola por una nueva, y la pantalla de reglas y pagos dentro del juego es el lugar para comprobar los detalles antes de fiarte de cualquier cifra de aquí.