As chances de melhorar um par ao trocar cartas

Você recebe 10-10-A-K-Q e decide manter os dez e trocar as outras três cartas. Com que frequência isso transforma o par em algo melhor? Cerca de 29% das vezes. Aproximadamente sete trocas em cada dez deixam você com exatamente o par que começou, só que agora com três cartas diferentes ao lado.

Esse número não é uma regra prática. Ele vem da contagem de todas as compras possíveis, e a contagem é curta o bastante para ser conferida à mão.

As 16,215 compras possíveis

Você vê cinco cartas, então 47 estão não vistas: o baralho menos a sua mão. Com um par de dez na mão, restam dois dez entre elas, e as outras 45 cartas são todas as demais. Três cartas saem dessas 47, sem considerar a ordem, então há 47 × 46 × 45 ÷ 6 = 16,215 compras igualmente prováveis. Cada resultado abaixo é uma contagem dessas compras dividida por 16,215.

O valor do seu par não faz diferença: duas cartas desse valor sempre restam, e os outros valores mantêm três ou quatro cada.

Conferindo duas das linhas por conta própria

Quadra é o mais fácil. Você precisa dos dois dez que restam e depois de qualquer terceira carta entre as outras 45. Há uma forma de pegar os dois dez e 45 formas de escolher a terceira, então 45 compras, e 45 ÷ 16,215 = 0.28%.

Um full house pode vir de duas formas. Ou você compra um par de um valor novo mais um dez, ou compra uma trinca de um valor novo. Para a primeira, há 63 pares possíveis de um valor diferente de dez (nove valores com quatro cartas restantes dão seis pares cada, e três valores com três cartas restantes, os valores das cartas que você descartou, dão três pares cada). Multiplique pelos dois dez com que poderia formar par, e obtém 126. Para a segunda, nove valores dão quatro trincas cada e os três valores descartados dão uma cada: 39. No total, 126 + 39 = 165 compras, ou 1.02%.

As quatro melhoras somadas: 2,592 + 1,854 + 165 + 45 = 4,656, e 4,656 ÷ 16,215 = 28.71%.

Por que um kicker custa caro

Alguns jogadores mantêm uma carta alta ao lado do par, segurando A-10-10 e trocando duas cartas, na ideia de que um ás ajuda quando as mãos são comparadas. A contagem mostra o que essa escolha custa em chance de melhora. Com duas cartas a sair das mesmas 47 há 47 × 46 ÷ 2 = 1,081 compras, e estas melhoram a mão:

Isso dá 25.90% contra 28.71%, uma perda de 2.81 pontos. O kicker de fato aumenta a chance de dois pares (17.21% contra 15.99%), porque seu ás agora tem três parceiros restantes para formar par. Mas você abre mão de uma terceira carta, e a trinca cai de 11.43% para 7.77%. O erro é o mesmo que o post sobre vídeo pôquer Por que um kicker nunca ajuda analisa, onde a máquina paga por uma tabela fixa. Contra um oponente, um kicker pode desempatar entre pares iguais, então ele não é sem valor, mas não é de graça.

O que uma melhora vale

Das 4,656 compras que melhoram, 2,592 terminam em dois pares e 1,854 em trinca. Esses dois resultados representam 95.5% das melhoras, então, na prática, "melhorar" significa um dos dois. Um full house ou uma quadra é raro: 210 compras de 16,215, ou 1.30% juntos.

Ajuda saber onde esses resultados ficam na hierarquia. Em Quão rara é cada mão de pôquer de cinco cartas, a contagem completa de mãos distribuídas mostra quão comum é um par (a mão feita mais comum) e quão mais raros são dois pares e trincas do que um par.

Usando os números na mesa

1. Espere errar. Uma compra que não melhora é o resultado usual, não azar.
2. Conte as cartas não vistas, não o baralho inteiro. Com um par na mão, sempre há 47 cartas não vistas no início da compra, e exatamente duas delas combinam com o seu par.
3. Calcule o preço da carta extra. Manter uma quinta carta custa cerca de 2.8 pontos de chance de melhora. Mantenha uma só se tiver um motivo.

Os números acima são matemática geral do pôquer de cinco cartas, então valem para qualquer jogo que permita trocar três cartas. Quantas cartas podem ser trocadas em uma determinada mão de Poker vs Dealer é definido pelas regras desse próprio jogo. A descrição na loja diz que você pode pagar uma ante para forjar uma carta, trocando-a por uma nova, e a tela de regras e pagamentos dentro do jogo é o lugar para conferir os detalhes antes de confiar em qualquer número aqui.