Les chances d'améliorer une paire en échangeant des cartes

Vous recevez 10-10-A-K-Q et décidez de garder les dix et d'échanger les trois autres cartes. À quelle fréquence cela transforme-t-il la paire en quelque chose de meilleur ? Environ 29% du temps. Environ sept échanges sur dix, vous gardez exactement la paire de départ, mais avec désormais trois rangs différents à côté.

Ce chiffre n'est pas une règle empirique. Il provient du décompte de chaque tirage possible, et ce décompte est assez court pour être vérifié à la main.

Les 16,215 tirages possibles

Vous voyez cinq cartes, donc 47 sont inconnues : le paquet moins votre main. Avec une paire de dix en main, il reste deux dix parmi elles, et les 45 autres cartes sont toutes les autres. On tire trois cartes parmi ces 47, sans tenir compte de l'ordre, donc il y a 47 × 46 × 45 ÷ 6 = 16,215 tirages d'égale probabilité. Chaque résultat ci-dessous est un décompte de ces tirages divisé par 16,215.

Le rang de votre paire ne change rien : deux cartes de ce rang restent toujours, et les autres rangs en gardent trois ou quatre chacun.

Vérifier soi-même deux des lignes

Le carré est le plus simple. Il faut les deux dix restants, puis une troisième carte quelconque parmi les 45 autres. Il y a une façon de prendre les deux dix et 45 façons de choisir la troisième, soit 45 tirages, et 45 ÷ 16,215 = 0.28%.

Un full s'obtient de deux façons. Soit vous tirez une paire d'un nouveau rang plus un dix, soit vous tirez un brelan d'un nouveau rang. Pour la première, il existe 63 paires possibles d'un rang autre que les dix (neuf rangs avec quatre cartes restantes donnent six paires chacun, et trois rangs avec trois cartes restantes, ceux des cartes que vous avez écartées, donnent trois paires chacun). Multipliez par les deux dix avec lesquels vous pouvez faire la paire, et vous obtenez 126. Pour la seconde, neuf rangs donnent chacun quatre brelans et les trois rangs écartés un chacun : 39. Au total, 126 + 39 = 165 tirages, soit 1.02%.

Les quatre améliorations s'additionnent : 2,592 + 1,854 + 165 + 45 = 4,656, et 4,656 ÷ 16,215 = 28.71%.

Pourquoi un kicker vous coûte cher

Certains joueurs gardent une carte haute à côté de la paire, en gardant A-10-10 et en échangeant deux cartes, dans l'idée qu'un as aide quand on compare les mains. Le décompte montre ce que ce choix coûte en probabilité d'amélioration. Avec deux cartes à tirer parmi les mêmes 47, il y a 47 × 46 ÷ 2 = 1,081 tirages, et ceux-ci améliorent la main :

Cela fait 25.90% contre 28.71%, soit une perte de 2.81 points. Le kicker augmente bien la probabilité de deux paires (17.21% contre 15.99%), car votre as a désormais trois partenaires restants avec lesquels former une paire. Mais vous renoncez à une troisième carte, et le brelan passe de 11.43% à 7.77%. L'erreur est la même que celle que l'article sur le poker vidéo Pourquoi un kicker n'aide jamais examine, où la machine paie selon une table fixe. Face à un adversaire, un kicker peut départager des paires égales, il n'est donc pas sans valeur, mais il n'est pas gratuit.

Ce que vaut une amélioration

Sur les 4,656 tirages améliorants, 2,592 aboutissent à deux paires et 1,854 à un brelan. Ces deux résultats représentent 95.5% des améliorations, donc en pratique « s'améliorer » veut dire l'un de ces deux-là. Un full ou un carré est rare : 210 tirages sur 16,215, soit 1.30% au total.

Il est utile de savoir où se situent ces résultats dans le classement. Dans La rareté de chaque main de poker à cinq cartes, le décompte complet des mains distribuées montre à quel point une paire est fréquente (la main la plus courante) et combien deux paires et un brelan sont plus rares qu'une simple paire.

Utiliser les chiffres à la table

1. Attendez-vous à rater. Un tirage manqué est le résultat habituel, pas la malchance.
2. Comptez les cartes inconnues, pas le paquet complet. Avec une paire en main, il reste toujours 47 cartes inconnues au début du tirage, et exactement deux d'entre elles correspondent à votre paire.
3. Chiffrez la carte supplémentaire. Garder une cinquième carte coûte environ 2.8 points de probabilité d'amélioration. Ne la gardez que si vous avez une raison.

Les chiffres ci-dessus relèvent des mathématiques générales du poker à cinq cartes ; ils valent donc pour tout jeu qui permet d'échanger trois cartes. Le nombre de cartes que l'on peut échanger dans une main donnée de Poker vs Dealer est fixé par les règles propres à ce jeu. La fiche de l'application indique qu'on peut payer une ante pour forger une carte, en l'échangeant contre une nouvelle, et l'écran des règles et des gains dans le jeu est l'endroit où vérifier les détails avant de vous fier à un chiffre de cet article.