Break-even-Quote: Was eine Auszahlung von 3 zu 1 an Gewinnen erfordert

Eine Auszahlung ist ein Versprechen über die Häufigkeit. Zahlt ein Ergebnis 3 zu 1, gewinnst du drei Einheiten für jede eine, die du riskierst, und das ergibt nur Sinn, wenn das Ergebnis oft genug eintritt, um die Male auszugleichen, in denen es nicht eintritt. Die Mindesthäufigkeit ist die Break-even-Quote, und sie lässt sich mit einer einzigen Rechenzeile finden.

Dieser Beitrag behandelt allgemeine Mathematik, nicht die Auszahlungstabelle eines bestimmten Spiels.

Von einer Auszahlung zur Gewinnquote

Eine Auszahlung von N zu 1 bedeutet, dass ein Gewinn N Einheiten Reingewinn bringt und ein Verlust 1 Einheit kostet. Angenommen, über eine Reihe von Versuchen gewinnst du einen Anteil p der Fälle. Dein durchschnittliches Ergebnis pro riskierter Einheit ist

p × N − (1 − p) = p × (N + 1) − 1

Das ist null, wenn p = 1 ÷ (N + 1). Bei 3 zu 1 ist es 1 ÷ 4 = 25%: Gewinnst du einen von vier Versuchen, endest du bei null, denn die drei Verluste (3 Einheiten) werden durch einen Gewinn von 3 Einheiten ausgeglichen. Gewinnst du mehr als ein Viertel der Zeit, gewinnst du im Durchschnitt; gewinnst du weniger, verlierst du im Durchschnitt.

Rückwärts gelesen bedeutet eine Chance von 25 %: „3 zu 1 gegen dich“. Ein fairer Preis dafür ist also eine Auszahlung von 3 zu 1.

„zu 1“ ist nicht „für 1“

Lies die Formulierung genau. „3 zu 1“ zahlt drei Einheiten Gewinn und gibt außerdem deinen Einsatz zurück, du hältst also insgesamt vier Einheiten. „3 für 1“ zahlt insgesamt drei Einheiten einschließlich des Einsatzes, also einen Gewinn von 2, das wären 2 zu 1. Die Break-even-Quote liegt dabei bei 1 ÷ 3 = 33,33 %, nicht bei 25 %.

Einen Draw gegen eine Auszahlung von 3 zu 1 prüfen

Beim Five-Card-Draw behältst du einige Karten und tauschst die übrigen. Mit fünf Karten auf der Hand sind 47 Karten unbekannt, daher beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem Kartentausch Treffer ÷ 47:

• Vier Karten einer Farbe: 9 Treffer, 9 ÷ 47 = 19,15 %. Die vollständige Zählung steht in Eine Karte zum Flush ziehen.
• Offener Straight-Draw: 8 Treffer, 8 ÷ 47 = 17,02 %.
• Gutshot-Straight-Draw: 4 Treffer, 4 ÷ 47 = 8,51 %. Beide Straight-Draws werden verglichen in Warum ein Inside-Straight-Draw genau halb so viel wert ist wie ein Outside-Draw.
• Ein Paar, bei drei getauschten Karten: 4.656 der 16.215 möglichen Tauschvarianten ergeben zwei Paare oder besser, 28,71 %. Die Aufschlüsselung steht in Die Chancen, ein Paar beim Kartentausch zu verbessern.

Stelle jeden Wert der 25-%-Linie gegenüber, die eine Auszahlung von 3 zu 1 verlangt:

Angenommen, ein gelungener Draw zahlt 3 zu 1. Mit p × 4 − 1 wäre das durchschnittliche Ergebnis pro riskierter Einheit:

Nimm den Farbdraw über 100 Versuche mit je einer Einheit. Etwa 19 gelingen und zahlen 3, also rund 57 Einheiten. Die übrigen etwa 81 verlieren je 1, sodass du rund 23 Einheiten im Minus liegst: der Wert −0,23 in der Tabelle, als langfristiger Durchschnitt und nicht als Prognose.

Die Quote, die ein Draw bräuchte, um fair zu sein

Du kannst die Rechnung auch umdrehen und fragen, welche Auszahlung ein Draw bräuchte. Die Quote gegen dich ergibt sich aus Fehlschlägen geteilt durch Treffer.

1. Vier Karten einer Farbe: 38 Fehlschläge zu 9 Treffern, etwa 4,22 zu 1.
2. Offener Straight: 39 zu 8, etwa 4,88 zu 1.
3. Gutshot-Straight: 43 zu 4, 10,75 zu 1.

Eine Auszahlung von 3 zu 1 ist also für keinen von ihnen groß genug; selbst ein Farbdraw bräuchte mehr als 4 zu 1. Der Vier-Karten-Farbdraw ist hier der beste der Ein-Karten-Draws und bleibt trotzdem unter 3 zu 1.

Was die Rechnung auslässt

Break-even ist eine Untergrenze für eine einzelne, in sich abgeschlossene Wette. Manche Verluste kosten weniger als den ganzen Einsatz, und eine Hand kann auf mehr als eine Weise gewinnen. Ein Ergebnis, das im Durchschnitt positiv ist, kann auch über längere Strecken verlieren: Ein Ereignis mit 25 % verfehlt dreimal hintereinander in 42,19 % der Fälle (0,75 × 0,75 × 0,75).

Wo das auf Poker vs Dealer trifft

Der Store-Eintrag zu Poker vs Dealer: Offline sagt, dass du nach der dritten Karte des Dealers deinen Einsatz gegen das Haus verdoppeln kannst und dass ein Gewinn auf den verdoppelten Einsatz in Spielgeld-Chips 3 zu 1 zahlt. Der Eintrag sagt nicht, wie oft ein verdoppelter Einsatz gewinnt, und jede Hand besteht aus zwei Duellen, daher nennt dieser Beitrag für diese Entscheidung keine Zahl. Die genauen Bedingungen und Auszahlungen stehen in den Spielregeln im Spiel.

Was die Mathematik dir liefert, ist der Test, den du anwenden kannst. Bei einer Auszahlung von 3 zu 1 muss der verdoppelte Einsatz mindestens in einem Viertel der Fälle gewinnen, damit es sich lohnt, gemessen an deiner Hand und den bisherigen Karten des Dealers. Wenn die Auszahlung als „für“ statt „zu“ beschrieben ist, lies zuerst nach, denn die Schwelle verschiebt sich von 25 % auf 33,33 %.