Выплата — это обещание о частоте. Если результат платит 3 к 1, вы получаете три единицы за каждую рискованную единицу, и это имеет смысл, только если результат выпадает достаточно часто, чтобы покрыть случаи, когда он не выпадает. Минимальная частота — это точка безубыточности, и найти её можно одной строкой арифметики.
Этот пост — общая математика, а не таблица выплат какой-либо одной игры.
От выплаты к проценту побед
Выплата N к 1 означает, что победа приносит N единиц прибыли, а поражение стоит 1. За серию попыток допустим, что вы выигрываете долю p времени. Ваш средний результат на единицу риска составит
p × N − (1 − p) = p × (N + 1) − 1
Это ноль при p = 1 ÷ (N + 1). При 3 к 1 это 1 ÷ 4 = 25%: выиграйте одну попытку из четырёх, и вы останетесь при своих, потому что три проигрыша (3 единицы) покрываются одной победой на 3 единицы. Выигрывайте чаще четверти — в среднем будете в плюсе; реже — в среднем в минусе.
Если читать наоборот, шанс 25% — это «3 к 1 против», так что справедливая цена для него — выплата 3 к 1.
| Выплата | Нужный процент побед | Выигрыш один раз из каждых |
|---|---|---|
| 1 к 1 | 50.00% | 2 |
| 2 к 1 | 33.33% | 3 |
| 3 к 1 | 25.00% | 4 |
| 4 к 1 | 20.00% | 5 |
| 5 к 1 | 16.67% | 6 |
| 9 к 1 | 10.00% | 10 |
| 19 к 1 | 5.00% | 20 |
| 99 к 1 | 1.00% | 100 |
«К 1» — это не «за 1»
Внимательно читайте формулировку. «3 к 1» платит три единицы прибыли и ещё возвращает вашу ставку, так что в итоге у вас четыре единицы. «3 за 1» платит три единицы всего, включая ставку, то есть прибыль 2, что равно 2 к 1. Его точка безубыточности — 1 ÷ 3 = 33,33%, а не 25%.
Проверка розыгрыша по выплате 3 к 1
В пятикарточном драве вы оставляете часть карт и меняете остальные. Из пяти карт на руках 47 неизвестны, поэтому добор одной карты завершает комбинацию с вероятностью: количество аутов ÷ 47.
- Четыре к флешу: 9 аутов, 9 ÷ 47 = 19,15%. Полный подсчёт приведён в Обмен одной карты на флеш.
- Дро на стрит с двух концов: 8 аутов, 8 ÷ 47 = 17,02%.
- Дро на внутренний стрит: 4 аута, 4 ÷ 47 = 8,51%. Оба дро на стрит сравниваются в Почему гатшот-дро стоит ровно половину открытого стрит-дро.
- Пара, меняем три карты: 4 656 из 16 215 возможных добров дают две пары или лучше, 28,71%. Разбор приведён в Шансы улучшить пару при замене карт.
Сравним каждый из них с линией 25%, которую требует выплата 3 к 1:
Допустим, добор зашёл и платит 3 к 1. По формуле p × 4 − 1 средний результат на единицу риска будет равен:
| Дро | Частота побед | Среднее на единицу |
|---|---|---|
| Пара, добираем три | 28.71% | +0.15 |
| Четыре к флешу | 19.15% | −0.23 |
| Открытый стрит | 17.02% | −0.32 |
| Внутренний стрит | 8.51% | −0.66 |
Возьмём дро на флеш за 100 попыток по одной единице. Около 19 успешны и платят по 3, то есть примерно 57 единиц. Остальные 81 примерно проигрывают по 1, и вы оказываетесь около 23 единиц в минусе: это −0,23 в таблице, как долгосрочное среднее, а не прогноз.
Цена, которая сделала бы добор справедливым
Можно также перевернуть расчёт и спросить, какая выплата нужна для добора. Шансы против — это промахи, делённые на попадания.
- Четыре к флешу: 38 промахов к 9 попаданиям, примерно 4,22 к 1.
- Стрит с двух концов: 39 к 8, примерно 4,88 к 1.
- Внутренний стрит: 43 к 4, 10,75 к 1.
Значит, выплата 3 к 1 слишком мала для любого из них: даже дро на флеш требует больше 4 к 1. Четырёхкарточный флеш — лучший из однокарточных добров здесь, и он всё равно не дотягивает до 3 к 1.
Привычка из двух шагов: переведите выплату в частоту побед по формуле 1 ÷ (N + 1), затем переведите свой добор в частоту побед: аути ÷ неизвестные карты. Какое из чисел больше, то и показывает, по какую сторону от безубыточности вы находитесь.
Что оставляет за скобками арифметика
Безубыточность — это нижняя граница для одной самостоятельной ставки. Некоторые проигрыши стоят меньше всей ставки, а рука может выиграть более чем одним способом. Результат, положительный в среднем, может также долго проигрывать: событие с вероятностью 25% промахивается три раза подряд в 42,19% случаев (0,75 × 0,75 × 0,75).
Где это сходится с Poker vs Dealer
В описании в магазине приложений для Poker vs Dealer: Offline сказано, что после третьей карты дилера можно удвоить ставку против дома, а выигрыш по удвоенной ставке платит 3 к 1 в игровых фишках. В описании не сказано, как часто выигрывает удвоенная ставка, а в каждой раздаче два поединка, поэтому этот пост не даёт для такого решения никакого числа. Точные условия и выплаты — в правилах и таблице внутри игры.
Математика даёт вам тест, который нужно провести. Если выплата 3 к 1, удвоенная ставка должна выигрывать хотя бы в четверти случаев, чтобы её стоило делать, если судить по вашей руке и уже открытым картам дилера. Если выплата описана как «за», а не «к», перечитайте её, потому что планка сдвигается с 25% до 33,33%.
Poker vs Dealer: Offline это пятикарточная покерная игра, в которой ваша рука соревнуется с рукой дилера и за общий банк стола. Вы можете оставить свою руку, заплатить антэ, чтобы выковать карту, обменяв её на новую, или сдаться и вернуть половину вложенных фишек. Игра идёт офлайн, без рекламы и покупок внутри приложения, а фишки — игровые, без денежной стоимости.