Un paiement est une promesse de fréquence. Si un résultat paie 3 pour 1, vous gagnez trois unités pour chacune que vous risquez, et cela n'a de sens que si le résultat tombe assez souvent pour couvrir les fois où il ne tombe pas. La fréquence minimale est le taux d'équilibre, et il faut une ligne de calcul pour le trouver.
Cet article traite de mathématiques générales, et non de la table de paiement d'un jeu en particulier.
D'un paiement à un taux de réussite
Un paiement de N pour 1 signifie qu'un gain rapporte N unités de profit et qu'une perte coûte 1. Sur une série de tentatives, supposons que vous gagniez une fraction p du temps. Votre résultat moyen par unité risquée est
p × N − (1 − p) = p × (N + 1) − 1
Cela vaut zéro quand p = 1 ÷ (N + 1). Pour 3 pour 1, cela fait 1 ÷ 4 = 25%: gagnez une tentative sur quatre et vous êtes à l'équilibre, car les trois pertes (3 unités) sont remboursées par une victoire de 3 unités. Gagnez plus d'un quart du temps et vous gagnez en moyenne ; gagnez moins et vous perdez en moyenne.
Lu à rebours, une chance de 25% correspond à « 3 contre 1 », donc un prix équitable pour elle est un paiement de 3 pour 1.
| Gain | Taux de réussite requis | Un gain sur chaque |
|---|---|---|
| 1 contre 1 | 50.00% | 2 |
| 2 pour 1 | 33.33% | 3 |
| 3 pour 1 | 25.00% | 4 |
| 4 pour 1 | 20.00% | 5 |
| 5 pour 1 | 16.67% | 6 |
| 9 contre 1 | 10.00% | 10 |
| 19 contre 1 | 5.00% | 20 |
| 99 contre 1 | 1.00% | 100 |
« Contre 1 » n'est pas « pour 1 »
Lisez bien la formulation. « 3 contre 1 » paie trois unités de profit et vous rend aussi votre mise, donc vous détenez quatre unités au total. « 3 pour 1 » paie trois unités au total, mise comprise, soit un profit de 2, ce qui est 2 contre 1. Son taux d'équilibre est 1 ÷ 3 = 33.33%, et non 25%.
Tester un tirage face à un paiement de 3 contre 1
Au tirage à cinq cartes, vous gardez certaines cartes et échangez les autres. Avec cinq cartes en main, 47 sont inconnues, donc un tirage d'une seule carte se complète avec une probabilité de outs ÷ 47 :
- Quatre cartes à une couleur : 9 outs, 9 ÷ 47 = 19.15%. Le décompte complet figure dans Tirer une carte pour une couleur.
- Tirage à quinte ouverte : 8 outs, 8 ÷ 47 = 17.02%.
- Tirage à quinte fermée : 4 outs, 4 ÷ 47 = 8.51%. Les deux tirages en quinte sont comparés dans Pourquoi un tirage à une quinte intérieure vaut exactement la moitié d'un tirage extérieur.
- Une paire, en échangeant trois cartes : 4,656 des 16,215 tirages possibles donnent deux paires ou mieux, soit 28.71%. Le détail figure dans Les chances d'améliorer une paire en échangeant des cartes.
Comparez chacun à la ligne de 25% qu'exige un paiement de 3 pour 1 :
Supposons qu'un tirage réussi paie 3 pour 1. Avec p × 4 − 1, le gain moyen par unité risquée serait :
| Tirage | Taux de réussite | Moyenne par unité |
|---|---|---|
| Paire, tirer trois cartes | 28.71% | +0.15 |
| Quatre pour une couleur | 19.15% | −0.23 |
| Quinte ouverte | 17.02% | −0.32 |
| Quinte à l'intérieur | 8.51% | −0.66 |
Prenez le tirage couleur sur 100 tentatives à une unité chacune. Environ 19 réussissent et paient 3, soit à peu près 57 unités. Les 81 autres environ perdent 1 chacune, vous laissant près de 23 unités en dessous : le −0.23 du tableau, comme moyenne à long terme et non comme prévision.
Le prix qu'un tirage devrait avoir pour être équitable
Vous pouvez aussi retourner le calcul et demander quel paiement un tirage exigerait. La cote contre est le nombre d'échecs divisé par le nombre de réussites.
- Quatre cartes à une couleur : 38 échecs pour 9 réussites, soit environ 4.22 contre 1.
- Quinte ouverte : 39 contre 8, soit environ 4.88 contre 1.
- Quinte fermée : 43 contre 4, soit 10.75 contre 1.
Un paiement de 3 contre 1 est donc trop faible pour chacun d'eux ; même un tirage couleur exige plus de 4 contre 1. La couleur à quatre cartes est la meilleure des tirages à une carte ici, et elle reste en deçà de 3 contre 1.
L'habitude en deux étapes : convertissez le paiement en taux de réussite avec 1 ÷ (N + 1), puis convertissez votre tirage en taux de réussite avec outs ÷ cartes inconnues. Le plus grand des deux nombres indique de quel côté de l'équilibre vous vous situez.
Ce que le calcul laisse de côté
L'équilibre est un plancher pour un pari unique et autonome. Certaines pertes coûtent moins que la mise entière, et une main peut gagner de plusieurs façons. Un résultat positif en moyenne peut aussi perdre longtemps : un événement à 25% échoue trois fois de suite dans 42.19% des cas (0.75 × 0.75 × 0.75).
Là où cela rencontre Poker vs Dealer
La fiche de la boutique de Poker vs Dealer: Offline indique qu'après la troisième carte du croupier vous pouvez doubler votre mise contre la maison, et qu'un gain sur cette mise doublée paie 3 pour 1 en jetons fictifs. La fiche n'indique pas à quelle fréquence une mise doublée gagne, et chaque main comporte deux duels, donc cet article ne donne aucun chiffre pour cette décision. Les règles et les paiements en jeu contiennent les termes exacts.
Ce que les mathématiques vous donnent, c'est le test à appliquer. Si un paiement est de 3 pour 1, la mise doublée doit gagner au moins un quart du temps pour valoir la peine, jugée au regard de votre main et des cartes du croupier jusqu'ici. Si le paiement est décrit comme « pour » et non « contre », relisez-le d'abord, car le seuil passe de 25% à 33.33%.
Poker vs Dealer: Offline est un jeu de poker à cinq cartes où votre main affronte celle du croupier et le pot de la table. Vous pouvez garder votre main, payer une ante pour forger une carte en l'échangeant contre une nouvelle, ou vous retirer et récupérer la moitié de vos jetons engagés. Il se joue hors ligne, sans publicités ni achats intégrés, et les jetons sont de l'argent de jeu sans valeur monétaire.